វិញ្ញាសា​សិស្ស​ពូកែ​គណិត​វិទ្យា​អន្តរជាតិ​២០១០


ថ្ងៃទីមួយ

1. ចូរកំណត់គ្រប់អនុគមន៍ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ ចំពោះគ្រប់ x,y \in \mathbb{R} គេមាន

f(\lfloor x \rfloor y)=f(x)\lfloor f(y) \rfloor

ដែល \lfloor a \rfloor តាងឱ្យចំនួនគត់ធំបំផុតតែមិនធំជាង a

2. គេឱ្យត្រីកោណ ABC ដែលមាន I ជាផ្ចិតរង្ចង់ចារឹកក្នុង និង \Gamma ជារង្វង់ចារឹកក្រៅ ហើយ AI កាត់រង្វង់ \Gamma ម្ដងទៀតត្រង់ D ។ តាង E ជាចំណុចឋិតលើធ្នូ BDC និង F ជាចំណុចឋិតលើអង្កត់ BC ដែល

\angle BAF=\angle CAE < \frac{1}{2}\angle BAC

បើ G ជាចំណុចកណ្ដាលរបស់ IF ចូរបង្ហាញថា ចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ EI និង DG ឋិតលើរង្វង់ \Gamma

3. ចូរកំណត់គ្រប់អនុគមន៍ g: \mathbb{N} \to \mathbb{N} ដែល \left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m \right) ជាចំនួនការេចំពោះគ្រប់ m,n \to \mathbb{N}

ថ្ងៃទីពីរ

4. តាង P ជាចំណុចមួយឋិតនៅក្នុងត្រីកោណ ABC  (ដោយមាន CA \ne CB ) ។ បន្ទាប់ AP,BP និង CP កាត់រង្វង់ \Gamma ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ម្ដងទៀត ត្រង់ K,L និង M រៀងគ្នា។ បន្ទាត់​ប៉ះ​រង្វង់ \Gamma ត្រង់ C កាត់បន្ទាត់ AB ត្រង់ S ។ ចូរបង្ហាញថា បើ SC=SP នោះ MK=ML

5. ប្រអប់ B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6 នីមួយៗ ពីដំបូងឡើយសុទ្ធតែមានកាក់មួយនៅខាងក្នុង។ សកម្មភាព​ដូច​ត​ទៅ​នេះ​ត្រូវ​បានអនុញ្ញាត

ប្រភេទ១៖ ជ្រើសរើសប្រអប់មិនទទេ B_j,1 \le j \le 5។ ដកកាក់មួយចេញពីប្រអប់ B_j រួច​ថែម​កាក់​ពីរ​ទៅ​ក្នុង​ប្រអប់​ B_{j+1}

ប្រភេទ២៖ ជ្រើសរើសប្រអប់មិនទទេ B_k,1\le k \le 4។ ដកយកកាក់មួយចេញពី B_k ហើយ​ប្ដូរ​កាក់​ទាំង​អស់​ដែល​មាន​ក្នុងប្រអប់ B_{k+1} និង B_{k+2} នឹងគ្នា។ តើ​មាន​លំដាប់​លំដោយ​កំណត់​ណា​មួយ​នៃ​សកម្មភាព​ទាំង​ពីរ​ប្រភេទ​ខាង​លើ​ដែល​នាំ​ឱ្យ​ជា​ចុង​ក្រោយ​ប្រអប់ B_1,B_2,B_3,B_4,B_5 អស់កាក់រលីង ហើយប្រអប់ B_6 មានកាក់ចំនួន 2010^{2010^{2010}} ឬទេ?

6. តាង a_1,a_2,a_3, \dotsi  ជាស្វ៊ីតនៃចំនួនពិតវិជ្ជមាន និង តាង s ជា​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ a_n=\max\{a_k+a_{n-k} \mid 1 \le k \le n-1 \} ចំពោះគ្រប់ n>s ។ ចូរបង្ហាញថា មានចំនួនគត់វិជ្ជមាន l \le s និង \mathbb{N} ដែល

a_n=a_l+a_{n-l},\forall n \ge \mathbb{N}

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s