វិសមភាព​វ៉ាន់​ ឃា


ក្នុង​អត្ថបទ​មួយ​របស់ វ៉ាន់ ឃា គាត់​បាន​សរសេរ​ថា​គាត់​បាន​បង្កើត​ទ្រឹស្តី​បទ​វិសមភាព​​មួយនេះ​​តាំង​ពី​ឆ្នាំ​២០០៦។ ខាង​ក្រោម​នេះ​ជា​ទ្រឹស្តី​បទ​នោះ

a/ គេឲ្យ f(t) ជាអនុគមន៍ប៉ោងលើ ចន្លោះ (a, b) ចំពោះចំនួនបី x, y, z \in (a,b) ផ្ទៀងផ្ទាត់ x \le y \le z គេបាន
(z-y)f(x)-(z-x)f(y)+(y-x)f(z) \le 0
b/ គេឲ្យ f(t) ជាអនុគមន៍ផតលើ ចន្លោះ (a, b) ចំពោះចំនួនបី x, y, z \in (a,b) ផ្ទៀងផ្ទាត់ x \le y \le z គេបាន
(z-y)f(x)-(z-x)f(y)+(y-x)f(z) \ge 0

នៅ​មាន​ច្រើន​ជាង​នេះ​ទៀត​តែ​ខ្ញុំ​សុំ​លើក​យក​តែ​ពីរ​ចំនុច​នេះ​មក​និយាយ។ ខ្ញុំ​មិន​ពិភាក្សា​អំពី​ប្រភព​ដើម​នៃ​វិសមភាព​នេះ​ទេ ទុក​អោយ​អ្នក​អាន​វាយ​តំលៃ​ចុះ តែ​ខ្ញុំ​សូម​និយាយ​អំពី​ការ​បក​ស្រាយ​នៃ​វិសមភាព​នេះ​វិញ។

តាង L(x) ជា​បន្ទាត់​ភ្ជាប់​ពី​\left(x, f(x)\right) មក \left((z,f(z)\right)

យើង​ពិនិត្យ​ករណី f(x) ជា​បន្ទាត់​ L(x)សិន។ បន្ទាត់ L(x) ប្រសព្វ​ជា​មួយ​បន្ទាត់​ឈរ កាត់​តាម​អាប់​ស៊ីស x=y ត្រង់​ចំនុច​ G ។

ineq

យើង​មាន

\displaystyle \frac{t}{s}=\frac{v}{u}; \implies tu=vs \implies A_3=A_5

\implies A_1+A_2+A_4+A_5=A_1+A_2+A_3+A_4

យើង​មាន

A_1+A_4+A_5=(y-x)L(z)

A_2=(z-y)L(x)

A_1+A_2+A_3+A_4=(z-x)L(y)

ដូច្នេះ (y-x)L(z)+(z-y)L(x)=(z-x)L(y)

យើង​មាន

L(x)=f(x); L(z)=f(z)

ករណី​f(x) ប៉ោង G ផ្លាស់ទី​ទៅ​លើ​បន្តិច ដូច្នេះ A_3 កើន​ តែ​A_5 ថយ។ \implies A_1+A_2+A_4+A_5 \le A_1+A_2+A_3+A_4

ជំនួស L(y) ដោយ f(y) \implies (y-x)f(z)+(z-y)f(x) \le (z-x)f(y)

ករណី​f(x) ផត G ផ្លាស់ទី​ចុះក្រោម​​បន្តិច ដូច្នេះ A_3 ថយ​ តែ​A_5 កើន។ \implies A_1+A_2+A_4+A_5 \ge A_1+A_2+A_3+A_4

ជំនួស L(y) ដោយ f(y) \implies (y-x)f(z)+(z-y)f(x) \ge (z-x)f(y)

————————
សូមអាន៖

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

12 Responses to វិសមភាព​វ៉ាន់​ ឃា

  1. វ៉ាន ឃា​ ជាសិស្សខ្មែរ កំពុងរៀននៅ សាកលវិទ្យាល័យស្ថាបត្យកម្ម នៅហាណូយ ឆ្នាំនេះរៀនឆ្នាំទី២ ក៏ធ្លាប់បានចូលរួម ប្រលងសិស្សពូកែគណិតដែរ(ប្រចាំខេត្តព្រៃវែង) តែខ្ញុំមិនបានដឹងលទ្ធផលយ៉ាងណាទេ​! ហើយចំពោះទឹ្រស្តីនេះ ចំពោះការបកស្រាយរបស់លោកគ្រូ និង របស់ វ៉ាន ឃា គឺ ស្រដៀងគ្នាដែរ ដោយបង្ហាញតាមរូបធរណីមាត្រ! ខ្ញុំក៏សូមរក្សាភាពស្ងៀមស្ងាត់ មិនបញ្ជាក់ពីប្រភពដើមរបស់ទ្រឹស្តីនេះដែរ​!

  2. បើតាមការស្រាវជ្រាវរបស់ខ្ញុំ វិសមភាពនេះមិនមែនជាវិសមភាពថ្មីអីនោះទេ។ តាមពិតវាជានិយមន័យរបស់អនុគមន៍ប៉ោងរឺផតតែប៉ុណ្ណោះ។ គេចែងថា f ជាអនុគមន៍ផត បើ
    f(ax_1+(1-a)x_2) \le af(x_1)+(1-a)f(x_2)
    ចំពោះគ្រប់ x_1, x_2 និង 0\le a \le 1
    សូមអាន http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function
    —-
    បើយើងយក x=x_1 ; y= ax_1+(1-a)x_2 ; z=x_2 \implies x \le y \le z ; a=\frac{z-y}{z-x} យើងទាញបាន៖
    \displaystyle \implies f(y) \le \frac{z-y}{z-x} f(x)+(1-\frac{z-y}{z-x})f(z)
    \displaystyle \implies  f(y) \le \frac{z-y}{z-x} f(x)+\frac{y-x}{z-x}f(z)
    \displaystyle \implies (z-x)f(y) \le (z-y) f(x)+(y-x)f(z)
    \displaystyle \implies  0 \le (z-y) f(x)- (z-x)f(y)+(y-x)f(z)

  3. ស៊ីវ អ៊ឺ ថា:

    ​កាល​ពីដំបូងខ្ញុំពិតជា មាន​អារម្មណ៍រីករាយមែនទែន ​ហើយអ្វីដែលសំខាន់គឺខ្ញុំ និងមិត្តភក្តិក៏បាន ខំស្រាវជ្រាវពីវិសមភាពនេះដែរ។ បើ​មិនច្រលំទេ នៅក្នុងសៀវភៅ Analyse I​​​ នៅមេរៀន
    Derivation ទំព័រទី150​ វិសមភាពនេះត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។
    ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វិសមភាពនេះមិនទាន់មានឈ្មោះនៅឡើយទេ ដូច្នេះ បើយើងចង់ដាក់
    ឈ្មោះយើង តើអាចទៅរួចទេ?​
    តើបងមានemail​ or blog គាត់ទេ ខ្ញុំចង់សា្គល់គាត់ណាស់!!!

  4. vankhea ថា:

    ជាការពិតណាស់យើងអាចស្រាយបែបនេះបាន។ ប៉ុន្តែការស្រាយនេះគឺគ្រាន់តែជាការជ្រើសរើសតំលៃ b នៅចន្លោះ (a, c) នៃវិសមភាពដែលខ្ញុំបានចែងតែប៉ុន្នោះ។​ យើងក៏អាចជ្រើសរើសយកតំលៃណាមួយក្នុងចំ
    នោមតំលៃ a , b , c វានឹងក្លាយជាវិសមភាពមួយថ្មីទៀត។​ វិសមភាពដែលខ្ញុំបានចងក្រងនេះក៏ខ្ញុំបានគិត
    ដល់ភាពប៉ោងផតនៃអនុគមន៍ដែរ គ្រាន់តែវិសមភាពនេះវាសង្កត់ធ្ងន់ជាងនិយមន័យនេះ។លំហាត់មួយចំនួនធំបើ
    ប្រើនិយមន័យខាងលើគឺមិនអាចស្រាយបានថាវាប៉ោងរឺផតនៅចន្ឡោះណានោះទេ បើទោះជាយើងប្រើដេរីវេទី2
    ក៏ដោយ។ គួចងចាំថាគ្រប់អនុគមន៍មិនមែនសុទ្ធតែអាចសិក្សាសញ្ញាតាមដេរីវេទី2 រកភាពប៉ោងផតបាននោះទេ។

    • សួស្តី​វ៉ាន់​ឃា ខ្ញុំ​មិន​អាច​បញ្ចេញ​យោបល់​ក្នុង​ប្លុក​របស់​អ្នក​បាន​ទេ។ នេះ​ប្រហែល​មក​ពី​អ្នក​មិន​បាន approve​ pending comments ។

    • តែ​ខ្ញុំ​មិនយល់​បែប​នេះ​ទេ។ ​ខ្ញុំ​យល់​ថា បើ​ខ្ញុំ​យក y ដែល x \le y \le z ជំនួស​ចូល​ក្នុង​វិសមភាព​នៃ​ភាព​ប៉ោង​ផត ដែល​មាន​តាំង​ពី​យូរ​យារ​មុន​ វ៉ាន​ ឃា​ បាន​បង្កើត​ឡើង ខ្ញុំ​ទទួល​បាន​វិសមភាព​វ៉ាន់​ឃា​នេះ​។ ដូច្នេះ​ករណី​ទាំង​ពីរ​នេះ​គឺ​តែ​មួយ​ គ្រាន់​តែ​សរសេរ​ជា​ទំរង់​ខុស​គ្នាតែ​ប៉ុណ្ណោះ​។

  5. vankhea ថា:

    ជំរាបសួរលោកគ្រូពីចំងាយ!!!!!!!!!!!!!!
    មានវិសមភាពជាច្រើនបានយកនិយមន័យប៉ោងផតទៅស្រាយបញ្ជាក់។ នេះជារឿងធម្មតា។
    ជាការពិតណាស់និយមន័យវាបានកើតឡើងតាំងពីយូរលង់ណាស់មកហើយ ហើយអ្វីដែលខ្ញុំបានបង្កើតនេះ
    វាមានតួនាទីដូចនិយមន័យដែរ ហើយការសរសេរគឺមានលក្ខណៈខុសគ្នានេះជាការពិត។ ឥឡូវនេះយើងអាចនិយាយបានថាវិសមភាពមួយនេះជានិយមន័យក៏បាន ប៉ុន្តែការសរសេរបែបនេះគឺវាមាន
    លក្ខណៈទូលំទូលាយជាង។ ហើយពីមុនមកក៏ពុំមានការសរសេរនិយមន័យបែបនេះដែរ ដូចនេះតើយើងអា​ចនិយាយថាវាជានិយមន័យទី2 របស់ភាពភាពប៉ោងផតបានដែររឺទេ????
    ខ្ញុំពិតជាសោកស្ដាយណាស់ ខ្ញុំគិតថាអ្វីដែលខ្ញុំបានបង្កើតនេះវាមានលក្ខណៈប្លែកពីគេហើយ ហើយខ្ញុំក៏ពុំដែលឃើញគេសរសេរពីមុនមកដែរ ប៉ុន្តែបែរជាគេចាត់ទុកវិសមភាពនេះជានិយមន័យទៅវិញ។

  6. vankhea ថា:

    ឥឡូវសូមលោកគ្រូបែរមកមើលវិសមភាព​ 2 វិញវាជាវិសមភាពយ៉ាងពិតប្រាកដ។ បើវិសមភាព 1​ លោកគ្រូ
    បាននិយាយថាវាជានិយមន័យប៉ោងផត។

    • ទ្រឹស្តី​បទ​ដែល​មាន​ហើយ៖ ចំពោះ​អនុគមន៍​ផត
      a_1f(x_1)+a_2f(x_2)+a_3f(x_3) +... \ge f(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+..)
      ដែល a_1+a_2+a_3+..=1
      ខ្ញុំ​ពិនិត្យ​តែ​ករណី​មាន​បី​អញ្ញាត។ មាន​ន័យ​ថា
      a_1f(x_1)+a_2f(x_2)+a_3f(x_3)  \ge f(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3) (*)
      ដែល a_1+a_2+a_3=1; f ជា​អនុគមន៍​ផត​លើ [a,b] និង a \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le b
      ខ្ញុំ​នឹង​បក​ស្រាយ​ថា វិសមភាព​នេះ​ជា​វិសមភាព​តែ​មួយ​ជា​មួយ​នឹង​វិសមភាព​របស់​វ៉ាន់ឃា​ឯង​។
      ទី​១) តាង z=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=a_1x+a_2y+a_3t; x=x_1; y=x_2; t=x_3
      វិសមភាព​(*) ទៅ​ជា​ a_1f(x)+a_2f(y)+a_3f(t)  \ge f(z) (**)
      គុណ (**) នឹង (t-x) យើង​ទាញ​បាន​ (t-x)a_1f(x)+(t-x)a_2f(y)+(t-x)a_3f(t)  \ge (t-x) f(z) (***)
      យក (t-x)a_1=(z-y); (t-x)a_2=(t-z); \implies a_1+a_2=\frac{t-y}{t-x}; a_3=1-(a_1+a_2)=\frac{y-x}{t-x} ជំនួស​ចូល​ក្នុង​(***) យើង​ទាញ​បាន​
      (z-y)f(x)+(t-z)f(y)+(y-x)f(t)  \ge (t-x) f(z)
      ​ចំពោះ​លក្ខខណ្ឌ (t-x)(z-y)=(y-x)(t-z) យើង​ជំនួស a_1; a_2; a_3 ចូល​ក្នុង z=a_1x+a_2y+a_3t

  7. vankhea ថា:

    អរគុណលោកគ្រូច្រើនដែលបានស្រាយវិសមភាពនេះ។ តែបើនិយាយរួមទៅវិធីដែលលោកគ្រូបានស្រាយនេះ
    ហើយនឹងរបៀបដែលខ្ញុំបានស្រាយគឺតែមួយទេ គ្រាន់តែការជំនួសនិងតាងខុសគ្នាបន្តិចប៉ុន្នោះ។

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s