វិញ្ញា​សា​គណិតវិទ្យា​សិស្ស​ពូកែ​ជប៉ុន​២០០៩​


សំនួរ​ទី​១ :ចូរ​កំនត់​គ្រប់​ចំនួន​គត់វិជ្ជមាន​n ដែល 8^n+n ចែក​ដាច់​នឹង​ 2^n+n

សំនួរ​ទី​២ (ប្រធាន​លំហាត់​មិន​ច្បាស់): តាង N ជា​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន។ គេ​សរសេរលើ​ក្តារ​ខៀន នូវ​​ចំនួន​គត់វិជ្ជមាន​​ខ្លះដែល​ផ្ទៀង​ផ្ទាត់​លក្ខខណ្ឌ​ទាំង​អស់​ខាង​ក្រោម៖

ក) គ្រប់​ចំនួន​ដែល​គេ​សរសេរ​ជា​ចំនួន​គត់​ស្ថិត​នៅ​ចន្លោះ​ចាប់​ពី ​1 ដល់ N

ខ) មាន​ចំនួន​គត់​ដែលស្ថិត​នៅ​ចន្លោះ​ចាប់​ពី ​1 ដល់ N ​ច្រើន​ជាង​មួយ ដែល​ត្រូវ​បាន​គេ​សរសេរ​លើ​ក្តារ​ខៀន​នេះ។

គ) ផល​បូក​ចំនួន​ដែល​គេ​សរសេរ​ចូល ជា​លេខ​គូ។

បើ​យើង​តាង X ជា​លេខ​ដែល​គេ​សរសេរ​ចូល និង Y ជា​លេខ​នៅ​សល់​ទាំង​ប៉ុន្មាន ចូរ​បង្ហាញ​ថា គេ​អាច​កំនត់​អោយ​ផល​បូក​លេខ​សំគាល់​ដោយ​X ស្មើ​នឹង​ផល​បូក​លេខ​សំគាល់​ដោយ​Y បាន។

សំនួរ​ទី​៣ : តាង k \geq 2 ជា​ចំនួន​គត់ និងn_1,n_2,n_3 ជាចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន និង a_1, a_2, a_3 ជា​ចំនួន​គត់​​ស្ថិត​ក្នុង​ចំនោម 1,2,\dotsi, k-1 ។ តាង \displaystyle b_i = a_i\sum_{j = 0}^{n_i} k^{j}\ (i = 1,\ 2,\ 3)។ ចូរកំនត់​គ្រប់​ចំនួន​គត់​ (n_1, n_2, n_3) ដែល b_1b_2=b_3

សំនួរ​ទី​៤ : តាង \Gamma ជា​រង្វង់​ចារឹក​ក្រៅត្រីកោណ​ABC។ រង្វង់​ផ្ចិត​O ប៉ះ​អង្កត់​BC ត្រង់​P ហើយ​ប៉ះ​ធ្នូ​BC របស់​\Gamma ដែល​គ្មាន​ចំនុច​A ត្រង់​Q។ បើ \angle BAO = \angle CAO ចូរ​បង្ហាញ​ថា \angle PAO = \angle QAO

សំនួរ​ទី​៥ : ចូរ​កំនត់​គ្រប់​អនុគមន៍ f ដែលកំនត់​លើសំនុំ​ចំនួន​ពិត​មិន​អវិជ្ជមាន ហើយ​មាន​តំលៃ​ជា​ចំនួន​ពិតមិន​​អវិជ្ជមាន ដែល​ផ្ទៀង​ផ្ទាត់

f(x^2)+f(y)=f(x^2+y+xf(4y))

ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួន​ពិត​មិន​អវិជ្ជមាន x,y

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
This entry was posted in គណិតវិទ្យា​ and tagged . Bookmark the permalink.

4 Responses to វិញ្ញា​សា​គណិតវិទ្យា​សិស្ស​ពូកែ​ជប៉ុន​២០០៩​

  1. psvjupiter ថា:

    I find a solution to the question 5 I wanna share with លោកគ្រូ។ I will not write so detail as i assume you are very good and geo already :D.
    Please draw a pic when you read it. and denote
    <ABC= Angle ABC.

    OBjective: prove that APOQ is cyclic by proving AOP=AQP.

    First let (AO) meet the circumscribe(ABC) at M.
    Since <BAO = <CAO, it follow that M is the middle point of arc BC.

    Denote D is the center of circumsribe(ABC) the we have (DM) parallel to (OP) since these two lines កែង with (BC). Therefore <AOP = <AMD (*)

    Second Let (PQ) meet circumsribe(ABC) at N. Triangle PQO and NQD are both សមបាត with equal base angle, namely <PQO or <NQO. Hence <OPQ = (OP)//(DN) but (OP)//(DM) also
    => M,D,N is on straightline.
    Therefore, <AQP=<AMN but <AMN or <AMD is the same and by (*) < AOP = <AMD we get
    <AQP = <AOP
    Therefore APOQ is cyclic which indeed lead to
    <PAO = <QAO since In triangle POQ is សមបាត

  2. psvjupiter ថា:

    សូមលោកគ្រូជួយពិនិត្យមើលតើដំនោះស្រាយលំហាត់ទី៥របស់ខ្ញុំត្រូវរឺទេ?

    take y=x we have
    f(x^2)+f(x)=f(x^2+x+xf(4x)) (*)
    Indeed take x=0 we get 2f(0)=f(0) or f(0)=0
    Hence f(x) is of form xg(x) or sub f(x)=xg(x) into (*) we get :
    x^2g(x^2) +xg(x)=(x^2+x+xf(4x)) g(x^2+x+xf(4x))
    since we know when x=0 f(x)=0 we suppose to find case x is not zero so divide each size by x we get
    xg(x^2)+g(x)=(x+1+f(4x)) g(x^2+x+xf(4x)) (**)

    Now we will prove that g(x) degree is actually 0 by using contradiction method.
    Suppose degree of g(x), say n >=1
    since f(x)=xg(x) degree of f(x) is n+1
    It can be easily seen that in(**) the degree of left handside is 1+2n ( degree of xg(x^2)
    On the right handside,
    the degree of x+1+f(4x) is n+1 (degree of f(4x))
    and degree of (x^2+x+xf(4x)) is n+2 (degree of xf(4x)
    therefore degree of g(x^2+x+xf(4x) is n(n+2)
    and total degree of right handside is n(n+2)+n+1

    Degree of left must equal degree on right
    1+2n=n(n+2)+n+1
    n^2+n=0 contradiction since n>=1

    Hence f(x)=ax where a is constant
    substitute f(x)=ax in (*) :f(x^2)+f(x)=f(x^2+x+xf(4x))
    we get the ans only a=0;

    Hence f(x)=0 is only the solution.

  3. psvjupiter ថា:

    Oh I see. Yes That is wrong. I miss calculate…

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s