កំនែ​វិញ្ញាសា​សិស្ស​ពូកែ​គណិតវិទ្យា​វៀត​ណា​ម​២០០៩


សំនួរ​ទី​១ : ដោះ​ស្រាយ​សមីការ ចំពោះ (x,y) \in \mathbb{R}

\displaystyle \left\{\begin{matrix} \frac {1}{\sqrt {1 + 2x^2}} + \frac {1}{\sqrt {1 + 2y^2}} & = & \frac {2}{\sqrt {1 + 2xy}} \\ \sqrt {x(1 - 2x)} + \sqrt {y(1 - 2y)} & = & \frac {2}{9} \end{matrix}\right.

ចំលើយ

ក) យើង​នឹង​ស្រាយ​បញ្ជាក់​វិសមភាព
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + b^2 }} \le \frac{2}{\sqrt {1 + ab}} ចំ​ពោះ​គ្រប់ \forall a,b \in \left[{0;\frac{1}{\sqrt 2 }} \right]
លើក​អង្គ​ទាំង​ពីរ​ជា​ការេ យើង​ទាញ​បាន
\displaystyle \frac {2}{{\sqrt {1 + a^2 } \sqrt {1 + b^2 } }} + \frac {1}{{1 + a^2 }} + \frac {1}{{1 + b^2 }} - \frac {4}{{1 + ab}} \le 0 (*)

យើង​មានវិសមភាព
\sqrt{(1 + a^2 )(1 + b^2 )} \ge 1 + ab
\implies \displaystyle \frac{2}{\sqrt{(1+a^2)(1 + b^2)}} \le \frac{2}{1+ab}
\implies \displaystyle \frac{2}{\sqrt{(1 + a^2 )(1 + b^2)}}-\frac{2}{1 + ab} \le 0 (**)
យើង​មានវិសមភាព
\displaystyle \frac{1}{1 + a^2} + \frac {1}{1 + b^2} - \frac {2}{1 + ab} = \frac {(a - b)^2 (ab - 1)}{(1 + ab)(1 + a^2 )(1 + b^2 )} \le 0 (***) ព្រោះ \forall a,b \in \left[ 0;\frac {1}{\sqrt 2} \right] និង ab<1

តាម (**)និង(***) យើង​ទាញ​បាន(*)ពិត។

ខ) លក្ខខណ្ឌ​របស់​សមីការ

\left\{\begin{array}{l} 0 \le x \le \frac {1}{2} \\ 0\le y \le \frac {1}{2}\end{array} \right.

យើង​ទាញ​បាន \sqrt {2} x,\sqrt {2} y \in \left[0;\frac {1}{\sqrt 2} \right],\sqrt {2} x .\sqrt {2} y<1

ជំនួស a=\sqrt {2} x,b=\sqrt {2} y, ចូល​វិសមភាព​ខាង​លើ​ យើង​ទាញ​បាន

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1 + 2x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + 2y^2 }} \le \frac{2}{\sqrt {1 + 2xy}}

អង្គ​ទាំង​ពីរ​ស្មើ​គ្នា​ទាល់​តែ x=y ។ ជំនួស​ចូល​សមីការ​ទី​ពីរ យើង​ទាញ​បាន

x=y=\displaystyle \frac{9+\sqrt{73}}{36} រឺ x=y=\displaystyle \frac{9-\sqrt{73}}{36}

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង ផ្សេង​ៗ។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

4 Responses to កំនែ​វិញ្ញាសា​សិស្ស​ពូកែ​គណិតវិទ្យា​វៀត​ណា​ម​២០០៩

  1. ធម្មជាតិ ថា:

    វាក្លាយជាគេហទំព័រសំណព្វរបស់ខ្ញុំ

  2. kov kimhorng ថា:

    I want to know how to study mathematic for short time,especially I’m not well at geometry. I want to be an out-standind student. Now I’m studying at grade 12.

    • ខ្ញុំ​គិត​ទៅ​ប្រហែល​ជា​គ្មាន​វេទមន្ត​ពិសេស​ណា​មួយ​អាច​ជួយ​បញ្ហា​នេះ​បាន​ទេ ក្រៅ​ពី​ខំ​រៀន​ខ្លួន​ឯង។ ខ្ញុំ​ធ្លាប់​ជា​សិស្ស​អន់​បំផុត​ផ្នែក​គណិតវិទ្យា តែ​ខ្ញុំ​ប្រឹង​រៀន​ធ្វើ​លំហាត់​ដោយ​ខ្លួន​ឯង តែ៣ ខែ​ប៉ុណ្ណោះ ខ្ញុំ​មាន​អារម្មណ៍ថា​ខ្លួន​ឯង​ពូកែ​ជាង​មុន​ឆ្ងាយ តែមិន​ដល់​ជា​សិស្ស​ពូកែ​បំផុត​ម្នាក់​នោះ​ទេ។ រយៈ​ពេល​៣​ខែ​នេះ
      – ខ្ញុំ​យក​សៀវភៅ​មក​ដោះស្រាយ​លំហាត់​ដោយខ្លួន
      – ប្រមូល​អារម្មណ៍​តែ​លើ​គណិត​តែ​ប៉ុណ្ណោះ ៖ គ្មាន​ទូរសព្ទ​ស៊េរី​ថ្មី គ្មាន​អ៊ីនថឹនែត គ្មានការ​ដើរ​លេង។ល។
      – ព្រឹក​ឡើង​ងើប​ពី​ដេក​ភ្លាម ការងារ​ទី​មួយ​គឺ​ដោះ​ស្រាយ​លំហាត់។ ល្ងាច​ឡើង​ការងារ​ចុងក្រោយ​គឺ​ដោះ​ស្រាយ​លំហាត់។
      ក្បួនបច្ចេក​ទេស​​ដោះស្រាយ​លំហាត់​ណាមួយ គឺ​កើតតាម​​ក្រោយ​តែ​ប៉ុណ្ណោះ។

      ដើម្បី​អោយ​យល់​ទ្រឹស្ដី​មួយ​ស៊ី​ជំរៅ យើង​គួរ​រៀន​បែប​បង្រៀន​គេ​វិញ មាន​ន័យ​ថា ពេល​យើង​សិក្សា​ទ្រឹស្ដី​បទ​មួយ ក្នុង​ចិត្ត​គិត​ថា​យើង​កំពុង​ពន្យល់​គេ​ពី​ទ្រឹស្ដី​បទ​នោះ។ បើ​ធ្វើ​បែប​នេះ​បាន យើង​នឹង​យល់​ទ្រឹស្ដី​នោះ​ច្បាស់​ហើយ​ចាំ​បាន​យូរ​ជា​មិន​ខាន។

      ពេល​អាន​សៀវភៅមួយជៀស​វាង​អាន​រំលងៗ ពេល​ខ្លះ​យើង​អាន​រំលង​ចំនុច​ពិសេស​ខ្លះ​ដែល​សំខាន់ ដែល​យើង​គិត​ថា​មិន​សំខាន់។

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s