កំនែ​វិញ្ញាសា​សិស្ស​ពូកែ​គណិតវិទ្យា​វៀត​ណា​ម​២០០៩


សំនួរ​ទី​៤ : តាង a,b,c ជា​ចំនួន​ពិត​បី។ ចំពោះ​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន​ n និមួយៗ គេ​មាន a^n+b^n+c^n ជា​ចំនួន​គត់។ ចូរ​បង្ហាញ​ថា មាន​ចំនួន​គត់​បី គឺ p,q,r ដែល a,b,c ជា​រឺស​នៃ​សមីការ x^3+px^2+qx+r=0

ចំលើយ

បើa,b,c ជា​រឺស​នៃ​សមីការ x^3+px^2+qx+r=0 នោះ​តាម​ទ្រឹស្តីបទ​វ្យែត យើង​ទាញ​បាន

p=-(a+b+c); q=ab+bc+ca; r=-abc

ដូច្នេះ​យើង​ត្រូវ​ស្រាយ​បញ្ជាក់​ថា a+b+c ; ab+bc+ca; abc ជា​ចំនួន​គត់។

១) តាម​សម្មតិកម្ម​ចំពោះ n=1 យើង​ទាញ​បានa+b+c ជា​ចំនួន​គត់។

២) ចំពោះ n=2 យើង​ទាញ​បានa^2+b^2+c^2 ជា​ចំនួន​គត់។ យើង​មាន

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) ជា​ចំនួន​គត់។

\implies 2(ab+bc+ca) ជា​ចំនួន​គត់។ (**)

ចំពោះ n=4 យើង​ទាញ​បានa^4+b^4+c^4 ជា​ចំនួន​គត់។ យើង​មាន

(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) ជា​ចំនួន​គត់។

\implies 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) ជា​ចំនួន​គត់។

ចំពោះ n=3 យើង​ទាញ​បានa^3+b^3+c^3 ជា​ចំនួន​គត់។

យើង​មាន​សមភាព x^3+y^3+z^3-3xyz =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) (*)

ជំនួស​ x=a,y=b,z=c រួច​គុណ​អង្គ​ទាំង​ពីរ​នឹង​២ យើង​ទាញ​បាន:

\implies 2(a^3+b^3+c^3)-6abc =(a+b+c)(2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac))

\implies 6abc ជា​ចំនួន​គត់។ តាង m=6abc ជា​ចំនួន​គត់។

ដូច​គ្នា​ជំនួស x=a^2,y=b^2,z=c^2 ទៅ​ក្នុង​(*) រួច​គុណ​អង្គ​ទាំង​ពីរ​នឹង​២ យើង​ទាញ​បាន:

\implies 6a^2b^2c^2 ជា​ចំនួន​គត់។ យើង​ទាញ​បាន 6a^2b^2c^2=\frac{m^2}{6} ជា​ចំនួន​គត់ ដូច្នេះ m ចែក​ដាច់​នឹង 6 ដូច្នេះ abc ជា​ចំនួន​គត់។

៣) យើង​មាន 2(ab+bc+ca)^2=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4abc(a+b+c) ជា​ចំនួន​គត់។ តាម​(**) យើង​មាន n=2(ab+bc+ca) ជា​ចំនួន​គត់។ ដូច្នេះ 2(ab+bc+ca)^2 = \frac{n^2}{2} ជា​ចំនួន​គត់ នាំ​ឱយ n ចែក​ដាច់​នឹង​2។ ដូច្នេះ ab+bc+ca ជា​ចំនួន​គត់។

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
This entry was posted in គណិតវិទ្យា​ and tagged . Bookmark the permalink.

6 Responses to កំនែ​វិញ្ញាសា​សិស្ស​ពូកែ​គណិតវិទ្យា​វៀត​ណា​ម​២០០៩

  1. OK! that is very good of your hard working!

    I am now a foundation student at university! but I really want to get the abroad scholarship! May you post some document of Math for abroad scholarship exam!

    For me about

    កំនែ​វិញ្ញាសា​សិស្ស​ពូកែ​គណិតវិទ្យា​

    is so hard for me! But i really appreciate of you!

    Hope you will !
    Regard!

    • វិចិត្រ ថា:

      ពីមុន​ខ្ញុំ​មាន​ឯកសារ​បែប​នេះ​ច្រើន តែ​ឥលូវ​គ្មាន​នៅ​នឹង​ដៃ​ទេ។ ដូច្នេះ​ហើយ​ខ្ញុំ​ក៏​ចែកចាយ​​តែ​លំហាត់​សិស្ស​ពូកែ​ ក្រែង​លោ​វា​អាច​ជួយ​អោយ​ខ្មែរ​បាន​មេដាយ​មាស​នៅ​IMO អី​អញ្ចឹង​ទៅ។
      តែ​ខ្ញុំ​នឹង​ផ្សព្វ​ផ្សាយ​បើ​សិន​ជា​អាច។

  2. sereyboth ថា:

    Yeah!
    proud that you love the nation!
    of course so when i have any problem with math can i ask you?
    Regard!

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s