គណិតវិទ្យា​អូឡាំពិច​១៩៦១


ថ្ងៃ​ទី​មួយ
1. (HUN) ដោះ​ស្រាយ​ប្រព័ន្ធ​សមីការ

x + y + z = a,
x^2 + y^2 + z^2 = b^2,
xy = z^2,
where a and b are given real numbers. What conditions must hold on a and b for the solutions to be positive and distinct?
2. (POL) Let a, b, and c be the lengths of a triangle whose area is S. Prove that
a^2 + b^2 + c^2 \geq 4S\sqrt{3} .
In what case does equality hold?
3. (BUL) ដោះ​ស្រាយ​សមីការ \cos^n x-\sin^n x = 1, ដែល​ n ជា​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន​ដែល​គេ​អោយ។

ថ្ងៃ​ទី​ពីរ

4. (GDR) In the interior of P_1P_2P_3 a point P is given. Let Q_1, Q_2, and Q_3 respectively be the intersections of PP_1, PP_2, and PP_3 with the opposing edges of P_1P_2P_3. Prove that among the ratios PP_1/PQ_1, PP_2/PQ_2, and PP_3/PQ_3 there exists at least one not larger than 2 and at least one not smaller than 2.

5. (CZS) Construct a triangle ABC if the following elements are given: AC = b, AB = c, and \angle AMB = \omega (\omega < 90^{\circ}), where M is the midpointof BC. Prove that the construction has a solution if and only if b \tan \frac{\omega}{2}\leq c<b .
In what case does equality hold?
6. (ROM) A plane is given and on one side of the plane three noncollinear points A, B, and C such that the plane determined by them is not parallel to \epsilon. Three arbitrary points A', B', and C' in are selected. Let L, M, and N be the midpoints of AA', BB', and CC', and G the centroid of \triangle LMN. Find the locus of all points obtained for G asA', B', and C' are varied (independently of each other) accros \epsilon.

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s