គណិតវិទ្យា​អូឡាំពិច​អាស៊ី​ប៉ាស៊ីភិច ២០០៤


Time allowed: 4 hours
No calculators are to be used
Each question is worth 7 points

Problem 1.
Determine all finite nonempty sets \mathbb{S} of positive integers satisfying \displaystyle \frac{i + j}{(i, j)} is an element of \mathbb{S} for all i, j \in \mathbb{S}; where (i, j) is the greatest common divisor of i and j.

Problem 2.
Let O be the circumcentre and H the orthocentre of an acute triangle ABC. Prove that the area of one of the triangles AOH, BOH and COH is equal to the sum of the areas of the other two.

Problem 3.
Let a set \mathbb{S} of 2004 points in the plane be given, no three of which are collinear. Let \mathbb{L} denote the set of all lines (extended indefinitely in both directions) determined by pairs of points from the set. Show that it is possible to colour the points of \mathbb{S} with at most two colours, such that for any points p, q of \mathbb{S}, the number of lines in \mathbb{L} which separate p from q is odd if and only if p and q have the same colour.

Note: A line l separates two points p and q if p and q lie on opposite sides of l with neither point on l.

Problem 4.
For a real number x, let \lfloor x \rfloor stand for the largest integer that is less than or equal to x. Prove that \lfloor \frac{(n-1)!}{n(n+1)} \rfloor is even for every positive integer n.

សំនួរ​ទី​៥.
ចូរ​បង្ហាញ​ថា (a^2 + 2)(b^2 + 2)(c^2 + 2) \geq 9(ab + bc + ca) ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួន​ពិត a; b; c > 0.

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s