សិស្សពូកែ​រាជធានី​ ២០០៨


សូម​អរគុណ​ដល់ និរន្តរ៍ ពិសិដ្ឋ ដែល​បាន​ផ្ញើ​វិញ្ញាសា​នេះ​មក​ទី​នេះ។

ប្រលង​ជ្រើសរើស​សិស្ស​ពូកែ​រាជធានី​ភ្នំពេញ

ថ្ងៃទី ១៣, ១៤ មិនា ២០០៨

វិញ្ញាសា គណិតវិទ្យា​ថ្នាក់ទី​១២ រយៈពេល​៣ម៉ោង

ថ្ងៃទី១

សំនួរ​១) (១០ពិន្ទុ) ស្រាយបញ្ជាក់​ថា        S =\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{4\sqrt[3]{3}}+\dotsi+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt[3]{n}}<3

សំនួរ២) (១០ពិន្ទុ) តាង m * n = \displaystyle \frac{{m + n}}{{mn + 4}}។ ចូរ​គណនា

A = \left(\left(\dotsi \left(\left(2009 * 2008\right)*2007\right)*\dotsi*1\right)*0\right)

សំនួរ៣) (១០ពិន្ទុ) តើមាន​ចំនួន​គត់ n ចំនួន​ប៉ុន្មាន​ ចាប់​ពី​1 ដល់ 2008 ដែល

2.6.10 \cdots \left( {4n - 2} \right) ចែក​ដាច់​នឹង n!

សំនួរ៤) (១៥ពិន្ទុ) មាន​ចំនួន​ពិត​បី​គូ \left( {a_1 ,b_1 } \right),\left( {a_2 ,b_2 } \right) និង \left( {a_3 ,b_3 } \right) ដែល

a^3-3ab^2=2009         និង      b^3-3a^2 b=2008

គណនា  P =\displaystyle \left(1-\frac{a_1}{b_1}\right)\left(1-\frac{a_2}{b_2}\right)\left(1-\frac{a_3}{b_3}\right)

សំនួរ៥) (១៥ពិន្ទុ)      ចំពោះ​ចំនួន​គត់ n និមួយៗ​មិន​អវិជ្ជមាន គេ​បង្កើត​ចំនួន​គត់​ថ្មី f\left( n \right)។ ឧបមា​ថា f\left( 0 \right) = 0;f\left( 1 \right) = 1 និង ចំពោះ n \geqslant 2 គេ​មាន

f\left( n \right) - 2f\left( {n - 1} \right) + f\left( {n - 2} \right) = \left( { - 1} \right)^n \left( {2n - 4} \right)

គណនា f\left( {2008} \right) និង f\left( {2009} \right)

សំនួរ៦) (២០ពិន្ទុ)      គេ​ឲ្យ​ចំនួន​ពិត x = k+\sqrt{k^2-1} ដែល k ជា​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន ធំជាង 1

ចំពោះ n = 1,2,3, \cdots គេ​តាង A_n ជា​ផ្នែក​គត់​នៃ x^n ។ ចូរ​គណនា A_{2n} ជា​អនុគមន៍​នៃ A_n

សំនួរ៧) (២០ពិន្ទុ)      ក្នុង​ចតុកោណព្នាយ ABCD ដែល AD\parallel CB មាន​ផ្ទៃក្រលា S ថេរ និងតាង E ជា​ចំនុច​ប្រសព្វ​នៃ​អង្កត់​ទ្រូង​ទាំងពីរ។ តើ​ចតុកោណ​ព្នាយ​ណា ដែល​ផ្ទៃ​ក្រលា​ត្រីកោណ​ABE ធំ​បំផុត។

ថ្ងៃទី២

សំនួរ៨) (១០ពិន្ទុ)ចូរ​ប្រៀបធៀប A = \sqrt[3]{2008}+\sqrt[3]{2006} និង B =\sqrt[3]{2007}           ។

សំនួរ៩)[1] (១០ពិន្ទុ)គេ​អោយ​ចំនួន​ពិត​វិជ្ជមាន​បី a;b;c ដែល​មាន​ផលគុណ​ស្មើ 1។ រក​តំលៃ​ធំ​បំផុត​នៃផលគុណ P = \displaystyle \left( {a - 1 + \frac{1}{b}} \right)\left( {b - 1 + \frac{1}{c}} \right)\left( {c - 1 + \frac{1}{a}} \right)

សំនួរ១០) (១៥ពិន្ទុ) រក​ចំនួន​គត់​ធម្មជាតិ n ដែល n + S\left( n \right) = 2009 ដែល S\left( n \right) ជា​ផលបូក​តួលេខ​នៃ​ខ្ទង់​និមួយៗ​របស់ ចំនួន​គត់​ធម្មជាតិ n

សំនួរ១១) (១០ពិន្ទុ)    គេ​អោយ​ស្វ៊ីត \left\{a_n\right\} នៃ​ចំនួន​ពិត​ កំនត់​ដោយ

a_1=1 និង a_{n + 1}=1+a_1a_2 a_3\dotsi a_n ចំពោះ n \geqslant 1

គណនា  S =\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} {\frac{1}{a_n}}

សំនួរ១២) (១៥ពិន្ទុ) រក​គ្រប់​អនុគមន៍ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ផ្ទៀងផ្ទាត់​លក្ខខណ្ឌ

f\left[ {x\left( {1 + f\left( y \right)} \right) + f\left( y \right)} \right] = x\left( {1 + y} \right) + y ចំពោះ​គ្រប់ x,y \in \mathbb{R}

សំនួរ១៣) (២០ពិន្ទុ)ប្រមាណវិធី * លើ​សំនុំ​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន ដែល បើ x និង y ជា​ចំនួន​គត់វិជ្ជមាន​​ពីរ នោះ x * y ក៏​ជា​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន​ដែរ។ ដោយ​សន្មត​ថា *បំពេញ​លក្ខខណ្ឌ​បី​ខាង​ក្រោម ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន x;y និង z ចូរ​គណនា 5 * 6

x * \left( {y + z} \right) = \left( {x * y} \right)\left( {x * z} \right)                    (១)

\left( {x + y} \right) * 1 = \left( {x * 1} \right) + \left( {y * 1} \right)                         (២)

\left( {x + y} \right) * 2 = \left( {x * 2} \right) + 4\left( {xy * 1} \right) + \left( {y * 2} \right)  (៣)

សំនួរ១៤) (២០ពិន្ទុ)    តាង p;R ជា​កន្លះ​បរិមាត្រ និង​កាំ​រង្វង់​ចារឹក​ក្រៅ​ត្រីកោណ​មួយ ចូរ​កំនត់​ប្រភេទ​ត្រីកោណ​នេះ ដើម្បី​អោយ​ផលធៀប​ \displaystyle \frac{p}{R} មានតំលៃ​ធំបំផុត។


[1] IMO 2000

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

10 Responses to សិស្សពូកែ​រាជធានី​ ២០០៨

  1. jupiter ថា:

    អូ!​ សូមទោសបង ខ្ញុំទើបតែនឹកឃើញបងអោយជួយរកវិញ្ញាសាគណិតទូទាំង ប្រទេស។ បងរកបានអស់រឺនៅ?​ ឥលូវខ្ញុំរៀននៅប្រទេសសិង្ហបូរីទេ មិនអាចទាក់ទងឯកសារខ្ញុំបាន។ តែចាំបន្តិចខ្ញុំ នឹងជួយទាក់ទងមិត្តភក្តិខ្ញុំអោយ ណា….

  2. jupiter ថា:

    Is the problem number 2# correct? I cannot find any easy way while it seem to look simple…. as i use computer simulation the result is around 0.083333333…3… it would me much easy if m*n+4 is m*n+ 1/4 :). thanks for sharing bong.

  3. វិចិត្រ ថា:

    i found any solution to problem n.3 yet..and not sure if the problem is typing correctly…
    but i have noticed that:
    (1*0)=4; (2*1)=”1/2″ => (2*1)*0=1/2;
    (3*2)=”1/2″; (3*2)*1=1/3; ((3*2)*1)*0=1/12;
    (4*3)*2=”1/2″; => ((4*3)*2)*1)*0 =1/12

    The solution seem to be 1/12…

  4. វិចិត្រ ថា:

    (u+1)*2=1*2=1/2 for every u-3;
    Hhahah!! i found the solution…

  5. jupiter ថា:

    yeah computer is correct. 1/12=0.08333333… post the solution when u have time:D

  6. jupiter ថា:

    wow, i got yr solution. So easy.haha:D. smart smart still smart….:)

  7. វិចិត្រ ថា:

    jupiter : hope getting more khmer math problem fro u;;;

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s