គណិតវិទ្យា​អូឡាំពិចបាល់កង់​​វ័យក្មេង​ ១៩៩៧


១) ចូរ​បង្ហាញ​ថា ចំពោះ​គ្រប់​បណ្តា​ចំនុច​ចំនួន​ប្រាំបួន ក្នុង​ការេ​មួយ​ជ្រុង​រង្វាស់​មួយ​ឯកតា គេតែង​តែ​​អាច​រកបាន​នូវ​​ចំនុច​បី ដែល​ជា​កំពូល​របស់​ត្រីកោណ​មួយ​មាន​ក្រលាផ្ទៃ​តូច​ជាង 1/8

២) គេ​អោយ​ចំនួន​ពិត x,y ដែល \displaystyle \frac{x^2+y^2 }{x^2-y^2 }+\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=k ចូរ​គណនា \displaystyle \frac{x^8+ y^8}{x^8- y^8}-\frac{x^8- y^8}{x^8+ y^8} ជា​អនុគមន៍​នៃ k

៣) តាង I ជា​ផ្ចិត​រង្វង់​ចារឹក​ក្នុង​ត្រីកោណ ABC។ តាង N,M ជា​​ចំនុច​កណ្តាល​របស់ AB,CA។ បន្ទាត់ BI,CI កាត់​ MN ត្រង់ K និង L រៀងគ្នា។ ចូរ​បង្ហាញ​ថា AI + BI + CI > BC + KL

៤) ត្រីកោណ​មួយ មាន​កាំរង្វង់​ចារឹកក្រៅ​ស្មើ R និង​មាន​ជ្រុង a,b,c ដែល R\left(b + c\right) = a\sqrt {bc}។ ចូរ​គណនា​មុំ​ត្រីកោណ​នោះ។

៥) តាង n_1 ,n_2 , \dotsi ,n_{1998} ជា​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន ដែល n_1^2+n_2^2+\dotsi+n_{1997}^2=n_{1998}^2 ។ ចូរ​បង្ហាញ​ថា មាន​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​ពីរ​ក្នុង​ចំនោម​ចំនួន​ទាំងនេះ ជា​លេខ​គូ។

ចំលើយ

១) យើង​ចែក​ការេ​នោះ​ជា​ការេ​តូចៗ​ចំនួន​បួន​ស្មើ​គ្នា​ ដូច​ក្នុង​រូប។ការេ​និមួយៗ​មាន​រង្វាស់​ជ្រុង \frac{1}{2}

 

ក្នុង​ចំនោម​ការេ​តូចៗ​ទាំង​នេះ ត្រូវ​មាន​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​ការេ​មួយ​ដែល​មាន​ចំនុច​យ៉ាង​តិច​៣​ចំនុច។ យើង​ពិនិត្យ​លើ​ការេ​មាន​ចំនុច​ចំនួន​បី។

យើង​គូស​ប្រអប់​មួយ​ចារឹក​ត្រីកោណ ABC។ កំពូល​ណា​មួយ​ស្ថិត​នៅ​ចំ​កំពូល​របស់​ប្រអប់ យើង​ទាញ​ត្រីកោណ​អោយ​កំពូល​នោះ​មក​ត្រួត​នឹង​កំពូល​របស់​ការេ​ក្រៅ។ ករណី​នេះ​ជា​កំពូល​ C។ ដូច្នេះ​ត្រីកោណ ABC មក​ជា​ A’B’C’។ ក្រលាផ្ទៃ​ត្រីកោណ A’B’C’ ស្មើ ក្រលាផ្ទៃ​ត្រីកោណ DB’C’ ដែល A’D // B’C’។ យើង​មាន S_{DB'C'}<S_{FB'C'}<S_{FC'E}=\frac{1}{8}។ ដូច្នេះ ក្រលាផ្ទៃ​របស់​ត្រីកោណABC តូច​ជាង \frac{1}{8} ហើយ​ស្មើ​នឹង \frac{1}{8} ទាល់​តែ មាន​កំពូល​ពីរ​ស្ថិត​លើ​កំពូល​របស់​ការេ និង​មួយ​ទៀត​ស្ថិត​លើ​ជ្រុង​ឈម​របស់​ការេ។ តែ​ករណី​នេះ​មិន​អាច​ព្រោះ​ចំនុច​ទាំង​ប្រាំបួន​ស្ថិត​នៅ​ក្នុង​ការេ​ធំ​ទាំង​អស់។

 

២) យើងមាន

          k = \displaystyle \frac{x^2+ y^2}{x^2-y^2}+\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{2x^4+2y^4}{x^4- y^4}

\Rightarrow    \displaystyle\frac{k}{2}=\frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}

\Rightarrow    \displaystyle \frac{k}{2}+\frac{2}{k}=\frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}+\frac{x^4-y^4}{x^4+y^4}= \frac{2x^8+2y^8}{x^8-y^8}

\Rightarrow    \displaystyle \frac{x^8+y^8}{x^8-y^8}=\frac{k}{4}+\frac{1}{k}=\frac{k^2+4}{4k}

\Rightarrow    \displaystyle \frac{{x^8+y^8 }}{{x^8-y^8 }}-\frac{{x^8-y^8 }}{{x^8+y^8 }} = \frac{{k^2+4}}{{4k}} -\frac{{4k}}{{k^2+ 4}} = \frac{{\left({k^2-4}\right)^2}}{{4k\left( {k^2+4}\right)}}

 

៣) យើង​មាន BI + CI > BC ពិត (វិសមភាព​ត្រីកោណ)។ យើង​នឹង​បង្ហាញ​ថា AI > KL

យើង​មាន \angle KBN = \angle KBC = \angle NKB ដូច្នេះ NB = NK\angle MLC = \angle MCL ដូច្នេះ ML = MC

KL = KN + LM - MN = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}BC

តាង P ជា​ចំនុច​ប៉ះ​នៃ​រង្វង់​ផ្ចិត I ជា​មួយ​ជ្រុង AC យើង​មាន AP = \frac{{AB + AC -BC}}{2}។ ដូច្នេះ KL = AP។ យើង​មាន AI=\sqrt{AP^2+r^2}=\sqrt{KL^2+ r^2}>KL ដែល r ជា​កាំ​រង្វង់​ចារឹក​ក្នុង។

 

៤) យើង​មាន a = 2R\sin A ដូច្នេះ 2\sqrt{bc} \geqslant \frac{a\sqrt{bc}}{R}=2\sin A\sqrt{bc}=b +c \geqslant 2\sqrt{bc} យើង​មាន​សមភាព​ទាល់​តែ​និង​មាន​តែ b = c និង \sin A = 1 ដូច្នេះ A = \frac{\pi }{2}

 

៥) បើ​មាន​ពីរ​ក្នុង​ចំនោម n_1 ,n_2 , \cdots ,n_{1997} ជា​លេខ​គូ នោះ​សំនើ​ពិត។ បើ​មាន​តែ​មួយ​ក្នុង​ចំនោមn_1 ,n_2 , \cdots ,n_{1997} ជា​លេខ​គូ នោះ យើង​មាន​ចំនួន​សេស​ចំនួន​១៩៩៦ និង​ចំនួន​គូ​មួយ ដូច្នេះ​បូក​ចូល​គ្នា បាន​ជា​លេខ​គូ ដូច្នេះ n_{1998} ជា​លេខ​គូ ដូច្នេះ​សំនើ​ពិត។ បន្ទាប់​មក​ទៀត យើង​នឹង​បង្ហាញ​ថា ​ក្នុង​ចំនោម​n_1 ,n_2 , \cdots ,n_{1997} មិន​អាច​ជា​លេខ​សេស​ទាំងអស់ទេ។ ករណី​នេះ n_{1998} ជា​លេខ​សេស។ ការេ​នៃ​ចំនួន​សេស​មួយ ចែក​នឹង​8 សល់​សំនល់​មួយ​ជា​និច្ច​ព្រោះ \left(8m+1\right)^2 ;\left(8m+3\right)^2;\left(8m+5\right)^2;\left(8m+7\right)^2 \equiv 1\left(\bmod 8\right) ដូច្នេះ n_1^2+n_2^2+\cdots+n_{1997}^2 \equiv 1997 \equiv 5\left(\bmod 8\right) តែ n_{1998} ជា​លេខ​សេស ដូច្នេះ n_{1998}^2 \equiv 1\left(\bmod 8\right) ដូច្នេះ​សមភាព​មិន​អាច។ មានន័យ​ថា​n_1 ,n_2 , \cdots ,n_{1997} មិន​អាច​ជា​លេខ​សេស​ទាំងអស់ទេ។

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

One Response to គណិតវិទ្យា​អូឡាំពិចបាល់កង់​​វ័យក្មេង​ ១៩៩៧

  1. volcano ថា:

    គណិតវិទ្យា​អូឡាំពិចបាល់កង់​​វ័យក្មេង​មានន័យដូចម្តេច​?​អាយុ​ឬ​ថ្នាក់ទីប៉ុន្មាន​ទើបប្រលងបាន

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s