គណិតវិទ្យា​អូឡាំពិច​បាល់កង់​វ័យក្មេង ២០០៨


 

១) ចូរ​គណនា​គ្រប់​ចំនួន​ពិត a,b,c,d ដែល

          a + b + c + d = 20, ab + ac + ad + bc + bd + cd = 150

២) កំពូល A និង B របស់​ត្រីកោណ​សម័ង្ស ABC ស្ថិត​លើ​រង្វង់​ kកាំ​រង្វាស់ 1ឯកតា និង កំពូល​ C ស្ថិត​នៅ​ក្នុង​រង្វង់ k។ ចំនុច D មួយ ផ្សេង​ពី B ស្ថិត​លើ k ដែល AD = AB។ បន្ទាត់ DC ប្រសព្វ k ជា​លើក​ទី​ពីរ​ត្រង់ E។ ចូរ​គណនា​រង្វាស់ \left[ {CE} \right]

៣) ចូរ​កំនត់​គ្រប់​ចំនួន​បឋម p,q,r ដែល \displaystyle \frac{p}{q} - \frac{4}{{r + 1}} = 1        ។

៤) គេចែក​តុ​ទំហំ 4 \times 4 មួយ ជា​ក្រលា​ការេ​ឯក​តា​ពណ៌​សចំនួន​16។ គេ​ថា ក្រលា​មួយ នៅ​ជាប់​គ្នា បើ​វា​មាន​ជ្រុង​រួម​​មួយ។ ចលនា​​មួយ ជា​ការ​ជ្រើស​រើស​ក្រលា​មួយ ហើយ​និង​ការ​ប្តូរ​ពណ៌របស់​ក្រលា​មួយ​នោះ និង គ្រប់​​ក្រលានៅ​ជាប់នឹង​ក្រលា​មួយ​នោះ​ ពី​ស​ទៅ​ខ្មៅ ឬ ពី​ខ្មៅ​ទៅ​ស។ បន្ទាប់​ពី​ គេ​ធ្វើចលនា​ចំនួន​n​ដង​មក ក្រលា​ទាំង​16 មាន​ពណ៌​ខ្មៅ​ទាំង​អស់។ ចូរ​កំនត់​គ្រប់​តំលៃ​ដែល​អាច​នៃ n

ចំលើយ

១) យើង​មាន      

\left( {a + b + c + d} \right)^2 =a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)

\Rightarrow 20^2= a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(150\right)

\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=100

តែ      

100=a^2+b^2+c^2+d^2  
=\frac{1}{3}\left[\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)+\left(a^2+d^2\right)\right] +\frac{1}{3}\left[\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2+d^2\right)+\left(c^2+d^2\right)\right] \geq \frac{2}{3}\left[ab + ac + ad + bc + bd + cd\right]
=\frac{2}{3}\left(150\right) =100

ដូច្នេះ អង្គ​ទាំង​ពីរ​ស្មើ​គ្នា​ទាល់​តែ​និង​មាន​តែ a = b = c = d \Rightarrow a = b = c = d = 5

២) តាង S ជា​ផ្ចិត​រង្វង់ k។ យើង​មាន​B,C,D ស្ថិត​លើ​រង្វង់​មាន​ផ្ចិត A។ តាង \angle CBD = \alpha នោះ \angle CAD = 2\alpha ។ ដោយ​ត្រី​កោណ ABD សមបាត​ត្រង់ A នោះ \angle{DBA}= 60-\alpha =\angle{BDA}។ ហើយ​ត្រីកោណ ACD សមបាត​ត្រង់ A នោះ \angle ACD = \angle ADC = \frac{{180 - 2\alpha }}{2} = 90 - \alpha ។ ដូច្នេះ \angle BDE = 90-\alpha-\left(60-\alpha\right)=30\Rightarrow \angle BSE=2.\angle BDE = 60។ ដូច្នេះ​ត្រីកោណ BSEសម័ង្ស \Rightarrow BE=1

យើង​មាន \angle BCE = 180 -60 -\left(90 - \alpha\right) = 30 + \alpha ។ ដោយ ABED ស្ថិត​លើ​រង្វង់​តែ​មួយ នោះ \angle BEC = 180 - \left(60 + 2\alpha\right) = 120 - 2\alpha ។ ដូច្នេះ \angle{CBE}=180-\left(120-2\alpha+30+\alpha\right)=30+\alphaCE = BE = 1

៣) \Leftrightarrow   p\left( {r + 1} \right) - 4q = q\left( {r + 1} \right)

\Rightarrow p\left(r +1\right) = q\left(r + 5\right)                            (១)

ដោយ p,q ជា​ចំនួន​បឋម​នោះ យើង​មានករណី p = q រឺ p ចែក r + 5 ដាច់។ ករណី p = q នោះ r + 1 = r + 5 មិន​អាច។ ដូច្នេះ p និង q បឋម​នឹង​​គ្នា ហើយ pចែក r + 5 ដាច់ និង q ចែក r + 1 ដាច់។ តាង d = PGCD\left( {r + 1,r + 5} \right) \Rightarrow d ចែក​ដាច់ r + 5 - \left( {r + 1} \right) = 4 \Rightarrow d = 1,2,3,4។ យើង​មាន \frac{{r + 1}}{d} បឋម​នឹង \frac{{r + 5}}{d}។ (១) សមមូល​នឹង p\frac{{r + 1}}{d} = q\frac{{r + 5}}{d}

ដូច្នេះ p = \frac{{r + 5}}{d} និង q = \frac{{r + 1}}{d}\Rightarrow p-q=\frac{4}{d}

បើ d = 4 នោះ p-q = 1 ជា​ចំនួន​គត់​បន្ត​បន្ទាប់​គ្នា​ ហើយ​ជា​ចំនួន​បឋម​ទាំង​ពីរ​ ដូច្នេះ​មាន​តែ p = 3,q = 2 \Rightarrow r=7

បើ d = 2 នោះ p-q = 2។ ដូច្នេះ r = 2p - 5 = 2q - 1 ហើយp និង q បឋម​សេស​ទាំង​ពីរ។ បើ p និង q សុទ្ធ​តែ​ខុស​ពី 3 នោះ p,q មាន​រាង 6m + 1,6m + 5។ ដោយ p - q = 2 នោះ​ផលសង​នេះ​ចែក​នឹង 3 សល់​សំនល់ 2។ ដូច្នេះ យើង​យក p = 6m + 5,q = 6n + 1

\Rightarrow p - q = 6\left( {m - n} \right) + 4 = 2 \Rightarrow \left( {m - n} \right) =-1 មិន​អាច។

\Rightarrow q = 3 (ព្រោះ p > q) \Rightarrow =5 \Rightarrow p = 5

បើ d = 1 នោះ p = r + 5;q = r + 1\Rightarrow p - q = 4 \Rightarrow p,q សេស​ទាំង​ពីរ។ ដោយ r = q - 1 នោះ r គូ \Rightarrow r = 2 \Rightarrow p = 7,q = 3

ដូច្នេះ \left( {p,q,r} \right) = \left( {3,2,7} \right);\left( {5,3,5} \right);\left( {7,3,2} \right)

៤)យើង​មាន​ទាំង​អស់ 16 ក្រលា។ ពេល​យើង​ជ្រើស​រើស​យក​ក្រលា​មួយ ហើយ​ដូរ​ពណ៌​ក្រលា​នេះ និង​ពណ៌​ក្រលា​នៅ​ជាប់​គ្នា នោះ​ម្តង​នេះ យើង​ដូរ​បាន 5 ក្រលា។ ម្តង​ដូរ​បាន​ពណ៌​5 ក្រលា ដូច្នេះ​យើង​ត្រូវ​ការ​ចលនា​យ៉ាង​តិច 4 ដង ដែល​ដូរ​បាន 20 ក្រលា។

បន្ទាប់​ពី​ធ្វើ​ចលនា​បាន n ដង នោះ យើង​ដូរ​ពណ៌​បាន 5nក្រលា តាង a_1 ,a_2 , \cdots ,a_{16} ជា​ចំនួន​ដែល​ក្រលា​និមួយៗ​ដូរ​ពណ៌។ ដោយ​ពី​ដំបូង​ក្រលា​ទាំង​អស់​មាន​ពណ៌​ស​ក្រោយ​មក​មាន​ពណ៌​ខ្មៅ ដូច្នេះ a_1 ,a_2 , \dotsi,a_{16} ជា​ចំនួន​សេស ហើយ ធំ​ជាង​រឺ​ស្មើ 1។ តាង a_i=2b_i+1។ ដូច្នេះ \displaystyle 2\sum_i {b_i}+16=5n។ ដូច្នេះ n ត្រូវ​តែ​ជា​ចំនួន​គូ។

យើង​មាន ចលនា៤ដង ដែល​អាច​ប្តូរ​ពណ៌​ក្រលា​ទាំង​អស់​ជា​ខ្មៅ​បាន ដូច​ខាង​ក្រោម។

 

 

បន្ទាប់​មក​ទៀត ក្រលា​ទាំង​អស់​បន្ទាប់​ពី​ចលនា​បួន​ដង ដែល​ដូរ​ជា​ខ្មៅ​ទាំង​អស់​ហើយ យើង​អាច​ជ្រើសរើស​យក​ក្រលា​ណា​មួយ រួច​ដូរ​ពណ៌​វា​ពីរ​ដង នោះ​យើង​បាន​ក្រលា​មាន​ពណ៌​ខ្មៅ​ទាំងអស់​ដដែល។ ដូច្នេះ បណ្តា ចលនា​ចំនួន 2m ដែល m \geq 2 អាច​ប្តូរ​ពណ៌​ក្រលា​ទាំង​អស់​ជា​ខ្មៅ​បាន។ ដូច្នេះ n = 2m \geq 4

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s