គណិតវិទ្យា​អួឡាំពិច អាមេរិច ១៩៧២


១) តាង \left( {a,b, \cdots ,k} \right) ជា​តួ​ចែក​រួម​ធំ​បំផុត​របស់​បណ្តា​ចំនួន​គត់ a,b, \cdots ,k និង តាង \left[ {a,b, \cdots ,k} \right] ជា​ពហុគុណ​រួម​តូច​បំផុត​របស់ពួក​វា។ ចូរ​បង្ហាញ​ថា ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន a,b,c យើង​មាន

\displaystyle \frac{{\left[ {a,b,c} \right]^2 }}{{\left[ {a,b} \right]\left[ {b,c} \right]\left[ {c,a} \right]}} = \frac{{\left( {a,b,c} \right)^2 }}{{\left( {a,b} \right)\left( {b,c} \right)\left( {c,a} \right)}}

២) ចតុមុខ​មួយ​មាន​រង្វាស់​ជ្រុង​ឈម​គ្នា​ស្មើ​គ្នា។ ចូរ​បង្ហាញ​ថា មុខ​ខាង​ទាំង​អស់​ជា​ត្រីកោណ​ស្រួច។

៣) គេ​បង្កើត​ចំនួនមួយ​​មាន​លេខ​n​ខ្ទង់ ដែល​គ្មាន​ខ្ទង់​ណា​មួយ​ស្មើ​សូន្យ ដោយ​ចៃ​ដន្យ ហើយ​ខ្ទង់​​និមួយៗ​​​មិន​អាស្រ័យ​គ្នា។ ចូរ​គណនា​ប្រូបាប៊ីលីតេ ដែល​ផលគុណ​តួ​លេខ​ទាំង​អស់​របស់ចំនួន​នោះ ​ចែក​ដាច់​នឹង​ 10

៤) តាង k = \root 3 \of 2 ។ ចូរ​កំណត់​ចំនួន​គត់ A,B,C,a,b,c ដែល \displaystyle \left| {\frac{{Ax^2+ Bx + C}}{{ax^2+bx+ c}} - k} \right|<\left| {x - k} \right|

ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួន​សនិទាន​មិន​អវិជ្ជមាន x

៥) គេ​ឲ្យ​បញ្ចកោណ​មួយ ដែល ត្រីកោណ​និមួយៗ​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​កំពូល​ជាប់​គ្នា​បី មាន​ក្រឡាផ្ទៃ​ស្មើ 1។ ចូរ​កំណត់​ក្រឡាផ្ទៃ​របស់​បញ្ចកោណ​នេះ រួច​ហើយ​បង្ហាញ​ថា មាន​បញ្ចកោណ​បែប​នេះ​ច្រើន​រាប់​មិន​អស់​។

ចម្លើយ

១) តាង

          a = \prod {p_k^{\alpha _k } } ,b = \prod {p_k^{\beta _k } } ,c = \prod {p_k^{\gamma _k } }

ដែល p_k​ជា​ចំនួន​បឋម។ សម្នើខាង​លើ​សមមូល​នឹង

2\max \left( {\alpha _k ,\beta _k ,\gamma _k } \right) - \max \left( {\alpha _k ,\beta _k } \right) - \max \left( {\alpha _k ,\gamma _k } \right) - \max \left( {\beta _k ,\gamma _k } \right)

=2\min \left(\alpha_{k},\beta_{k},\gamma_{k}\right)-\min \left(\alpha_{k} ,\beta_{k}\right)-\min \left(\alpha_{k},\gamma_{k}\right)-\min \left(\beta_{k},\gamma_{k}\right)

យើង​សន្មតថា \alpha _k \geq \beta _k \geq \gamma _k ។ សមភាព​ខាងលើ​ទៅជា

2\alpha_{k}-\alpha_{k}-\beta_{k}=2\gamma_{k}-\beta_{k}-\gamma_{k}-\gamma_{k}          ពិត។

២) តាង M ជា​ចំនុច​កណ្តាល​របស់ BC ដូច្នេះ AM + MD > AD (*)(វិសមភាព​ត្រីកោណ)។ ត្រីកោណ ABC និង DCB ប៉ុនគ្នា ព្រោះ BC = CB ជា​ជ្រុង​រួម និង AB = DCនិង AC = DB។ ដូច្នេះ AM = DMនិង AD = BC = 2MC។ (*) នាំ​អោយ AM > MC \Rightarrow \angle BAC ជា​មុំ​ស្រួច។ ដូច​គ្នា​ចំពោះ​មុំ​ផ្សេង​ទៀត នៃ​មុខ​ខាង​របស់​ចតុមុខ។

៣)តាង N =\overline{a_1a_2\dotsi a_n} ជា​ចំនួន​ដែល​បង្កើត​មក យើង​មាន a_1,\dotsi,a_n \ne 0 និង a_1 \dotsi a_n ចែក​ដាច់​នឹង 10។ ដូច្នេះ​ ត្រូវ​មាន​យ៉ាង​តិច​មួយ​ក្នុង​ចំនោម a_i ជា​ចំនួន​គូ និង យ៉ាង​តិច​មួយ​ទៀត​ជា​លេខ​5

លេខ​ដែល​បង្កើត​មាន​ទាំង​អស់ 9^n ករណី។ លេខ​​ដែលគ្មាន​​ខ្ទង់ណា​​មួយ​ជា​ចំនួន​គូ​មាន 5^n ករណី។ លេខ​​ដែលគ្មាន​​ខ្ទង់ណា​​មួយ​ជា​ចំនួន​គូនិង​ជា​លេខ​5​មាន 4^n ករណី។ ​ លេខ​​ដែលគ្មាន​​ខ្ទង់ណា​​មួយ​ជា​លេខ​5មាន​ចំនួន​ 8^n ករណី។

ដូច្នេះ លេខ​ដែល​មាន​យ៉ាងតិច​ខ្ទង់​មួយ​ជា​លេខ​គូ និង ខ្ទង់​មួយ​ទៀត​ជា​លេខ​5 មាន​ចំនួន

9^n-\left(8^n+\left(5^n-4^n\right)\right)=9^n-8^n-5^n+4^n

ដូច្នេះ​ប្រូបាប៊ីលីតេ ដែល​ចង់​រក  គឺ 1-\left(\frac{8}{9}\right)^n-\left(\frac{5}{9}\right)^n+\left(\frac{4}{9}\right)^n

៤) យក x \to k នោះ

Ak^2+Bk+C=ak^3+bk^2+ck

\Rightarrow Ak^2+ Bk + C = bk^2+ ck + 2a

\Rightarrow A = b,B = c,C = 2a

ដូច្នេះ

          \left| {\frac{{Ax^2+ Bx + C}}{{ax^2+ bx + c}} - k} \right| < \left| {x - k} \right|

\Leftrightarrow        \left| {bx^2+ cx + 2a - k\left( {ax^2+ bx + c} \right)} \right|< \left| {\left( {x - k} \right)\left( {ax^2+ bx + c} \right)} \right|

\Leftrightarrow        \left| {\left( {x - k} \right)\left[ {\left( {b - ak} \right)x + c - ak^2 } \right]} \right|<\left| {\left( {x - k} \right)\left( {ax^2+ bx + c} \right)} \right|

\Leftrightarrow        \left| {\left( {b - ak} \right)x + c - ak^2 } \right| < \left| {ax^2 + bx + c} \right|, \forall x \in {\Bbb Q}^+

យើង​ទាញ​បាន ចំពោះ​ករណី ax^2 + bx + c,\forall x \in {\Bbb Q}^+ \Rightarrow a > 0 និង ចំពោះ​ករណី ax^2+ bx + c < 0,\forall x \in {\Bbb Q}^+ \Rightarrow a < 0។ ចែក​លក្ខខណ្ឌ​ទាំង​ពីរ​នឹង a យើង​ទាញ​បាន x^2+\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} > 0,\forall x \in {\Bbb Q}^+។ បើ \Delta=\left(\frac{b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a} < 0រឺ b^2<4ac នោះ​វិសមីការ​ពិត​ជា​និច្ច។ តែ​បើ \Delta > 0 រឺ b^2>4ac នោះ​ ទាល់​តែ \displaystyle \frac{\frac{-b}{a}+ \sqrt{\Delta}}{2} \leq 0 មានន័យ​ថា \sqrt{\Delta}\leq b/a រឺ c/a \geq 0 និង b/a \geq 0

ដូច្នេះ យើង​មាន

ក) b^2 <4ac

ខ) c/a \geq 0 និង b/a \geq 0 សមមូល​នឹង a,b,c មាន​សញ្ញា​ដូច​គ្នា។

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s