សិស្សពូកែទូទាំងប្រទេសកម្ពុជា ឆ្នាំ១៩៩៨


.

ប្រលងជ្រើស​រើស​សិស្សពូកែ​ទូទាំង​ប្រទេស

                                          សម័យ​ប្រលង: ១៥ កក្កដា ១៩៩៨

                                          វិញ្ញាសា: គណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី​១២

                                          រយៈពេល: ៣ម៉ោង

 

ថ្ងៃ​ទី​១

១) គណនា

S =1+11+111+\dotsi+\underbrace{111\dotsi11}_n

២) ដោះ​ស្រាយ​សមីការ     \sin \left( {\sin x} \right) = 1

៣) គណនា \displaystyle \frac{1}{1.4}+\frac{1}{2.5}+\dotsi+\frac{1}{n\left(n+3\right)} ជា​អនុគមន៍​នៃ n

៤) f និង g ជា​អនុគមន៍​ ហើយ f' និង g' ជា​ដេរីវេ។ រក​ទំនាក់​ទំនង​រវាង f និង g ដើម្បី​អោយ f.f' = g.g'

៥) (រូបទី១) ABCD ជា​ការេ​ដែល​មាន​ជ្រុង​រង្វាស់​ a ហើយ AFE ជា​ចំរៀក​ថាស​ដែលមាន​ផ្ចិត A និង មុំ 2\theta ។ បង្ហាញ​ថា 1+\sin{2\theta}=4\theta ជា​សមីការ​ដែល​ធ្វើ​អោយ​ក្រលាផ្ទៃ​នៃ​ចំរៀក​ថាស​ស្មើ​ពាក់​កណ្តាល​នៃ​ក្រលា​ផ្ទៃ​ការេ។

 

៦) (រូបទី​២) ចូរ​បង្ហាញ​ថា x=\frac{R}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)

៧) គេ​អោយ​ស្វ៊ីត x_{n+1}= \frac{1}{2}x_n-1 , n \in {\Bbb N} និង x_0=1។ ចូរ​បង្ហាញ​ថា ចំពោះ​គ្រប់ n \in {\Bbb N} គេ​មាន x_n\geq-2

៨) A និង B ជា​ចំនុច​នឹង ហើយ I ជា​ចំនុច​មួយ​នៅ​លើ​\left( {xy} \right)​ដូច​រូប​ខាង​ក្រោម(រូប​ទី​៣) ដោយ​ដឹង​ថា \left| {BK} \right| = 3m;\left| {AH} \right| = 1,5m; \left| KH \right| =9m។ ចូរ​កំនត់​ទីតាំង​ I លើ \left( {xy} \right) ដើម្បី​អោយ​ប្រវែង \left| {IA} \right| + \left| {IB} \right| មាន​រង្វាស់​ខ្លី​បំផុត ហើយ​ក្នុង​ករណី​នេះ ចូរ​គណនា \left| {IH} \right|

ថ្ងៃ​ទី​២

៩) គេ​មាន​សមីការ ax^2+bx+c=0 ដែល a និង c ខុស​ពី​សូន្យ ហើយ \alpha និង \beta ជា​រឺស​នៃ​សមីការ។ គេ​តាង S_2=\alpha^2+\beta^2 ;S_3=\alpha^3+\beta^3 ; \cdots ;S_n=\alpha^n+\beta^n

ក) ចូរ​បង្ហាញ​ថា aS_n+bS_{n-1}+cS_{n-2}= 0

ខ) គណនា       \left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)^{10}+\left({\frac{-1-\sqrt {13}}{2}}\right)^{10}

១០) (រូបទី៤)ABCD ជា​ការេ​មាន​ជ្រុង​រង្វាស់​ 1dm។ គេ​សង់​រង្វង់​ដែល​មាន​ផ្ចិត D និង​កាំ 1dmT ជា​ចំនុច​មួយ​នៃ​ធ្នូ​AC។ បន្ទាត់​មួយ​ប៉ះ​រង្វង់​ត្រង់ T​កាត់ \left[ {AB} \right] ត្រង់ M និង \left[ {BC} \right] ត្រង់ N។ រក​ទីតាំង នៃ T ដើម្បី​អោយ​\left[ {MN} \right]​មាន​រង្វាស់​ខ្លី​បំផុត។

 

១១) ដោះ​ស្រាយ​សមីការ \left(1+x\right)^{\frac{1}{3}}-\left(1-x\right)^{\frac{1}{3}}=\left(1-x^2 \right)^{\frac{1}{6}}

១២) f\left( x \right)=x^2+x+6 ដែល x \in {\Bbb Z}។ ចូរ​កំនត់ x ដើម្បី​អោយ f\left( x \right) ជា​ការេ​នៃ​ចំនួន​គត់។

១៣) (រូបទី៥) រថយន្ត​មួយ​ធ្វើ​ដំនើរ​ពី​ចំនុច A ឆ្ពោះ​ទៅ​ចំនុច​B។ គេ​មាន​ផ្លូវ​កៅស៊ូ​តែ​មួយ​គត់​តាម​បន្ទាត់ \left( {HB} \right) ក្រៅពី​នេះ គឺ​ជា​ផ្លូវ​ខ្សាច់។ ដោយ​ដឹង​ថា \left| {AH} \right| = 60km ហើយ \left| {HB} \right| = 80km

-បើ​គេ​ធ្វើ​ដំនើរ​តាម​ផ្លូវ​កៅស៊ូ HB រថយន្ត​នោះ​ស៊ី​ប្រេង 0,1លីត​ក្នុង​1km

– បើ​គេ​ធ្វើ​ដំនើរ​តាម​ផ្លូវដី​ខ្សាច់ រថយន្ត​នោះ​ស៊ី​ប្រេង 0,2លីត​ក្នុង​1km

តើ​គេ​ត្រូវ​ធ្វើ​ដំនើរ​តាម​វិធី​ណា​ដើម្បី​អោយ​រថយន្ត​នោះ​ស៊ី​ប្រេង​តិច​បំផុត?។

ចំលើយ

1) 9S = 9+99+999+\dotsi+999\dotsi 99
=\left(10-1\right)+\left(10^2-1\right)+\left(10^3-1\right)+\dotsi+\left(10^n-1\right)
=10\left(1+10+10^2+\dotsi+10^{n-1}\right)-n
=10\frac{10^n-1}{10-1}-n
=\frac{10}{9}\left(10^n-1\right)-n
S=\frac{10}{81}\left(10^n-1\right)-\frac{n}{9}

2) \Leftrightarrow        \sin \left( \sin x \right) = \sin \left( \frac{\pi }{2} + 2k\pi \right) ដែល k ជា​ចំនួន​គត់។

\Leftrightarrow        \sin x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi

យើង​មាន \left| \sin x \right| \leqslant 1 ចំពោះ​គ្រប់ x និង \left| \frac{\pi }{2} + 2k\pi \right| \geqslant \frac{\pi }{2} \approx 1,57 > 1 ដូច្នេះ​សមីការ​គ្មាន​រឺស។

3) \frac{1}{1.4} = \frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{4}\right)
\frac{1}{2.5}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)
\dotsi
\frac{1}{n\left(n + 3\right)}= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right)
\Rightarrow \frac{1}{1.4}+\frac{1}{2.5}+\cdots+\frac{1}{n\left(n+3\right)}
= \frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3}\right)

=\frac{1}{3}\left(\frac{11}{6} - \frac{3n^2+12n + 11}{\left(n + 1\right)\left(n + 2\right)\left(n + 3\right)} \right)

 

 

 

 

 

4) \Rightarrow \frac{d}{dx}\left(f^2\right)=\frac{d}{dx}\left(g^2\right)
\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(f^2-g^2\right)=0
f^2-g^2=Cte

5) យើង​មាន

R=AF=\displaystyle \frac{AD}{\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}-2\theta}{2}\right)}

=\displaystyle \frac{a}{\cos\left(\frac{\pi}{4}-\theta \right)}

ក្រលាផ្ទៃ​ចំរៀក​ថាស \frac{1}{2}2\theta .R^2 = \frac{1}{2}a^2 ពាក់​កណ្តាល​ក្រលាផ្ទៃ​ការេ

\Rightarrow 2\theta =\cos^2 \left(\frac{\pi }{4}-\theta\right)

\Rightarrow 2\theta= \frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\theta \right)}{2}

\Rightarrow 1 + \sin 2\theta= 4\theta

6) យើង​មាន

          x =2R\sin{18^{\circ}}

          \sin{18^{\circ}}=\cos\left(90 - 18\right)=\cos 72^{\circ}=1-2\sin^2 36^{\circ}

          =1-8\sin^2 18^{\circ}\cos^2 18^{\circ}

          = 1- 8\sin ^2 18^{\circ}\left(1-\sin ^2 18^{\circ}\right)

          =1- 8\sin ^2 18^{\circ} \left(1-\sin 18^{\circ}\right)\left(1+\sin 18^{\circ}\right)

          \Rightarrow \left(1-\sin 18^{\circ}\right)\left[1-8\sin ^2 18^{\circ}\left(1+\sin 18^{\circ}\right)\right] = 0

          \Rightarrow 8\sin ^3 18^{\circ}+ 8\sin ^2 18^{\circ}-1=0

តាង u = \sin 18^{\circ} ,0 < u < 1

          u^3+u^2-\frac{1}{8} = 0

          u^2\left(u+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(u-\frac{1}{2}\right)\left(u+\frac{1}{2}\right)=0

          \left(u + \frac{1}{2}\right)\left(u^2+\frac{1}{2}u - \frac{1}{4}\right) = 0

          \Rightarrow u=\frac{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 5}{2}}{2}=\frac{1}{4}\left(-1+\sqrt 5\right)

          \Rightarrow x=\frac{R}{2}\left(-1+\sqrt 5\right)

 7) យើង​មាន x_0= 1,x_1=-\frac{1}{2} >-2,x_2=-\frac{5}{4} >-2

សន្មត​ថា x_n>-2។ នោះ x_{n+1}=\frac{1}{2}x_n-1>-1-1=-2

បន្ទាប់​មក​ទៀត យើង​មាន x_{n+1}=\frac{1}{2} x_n-1< x_n ព្រោះ x_n>-2។ ដូច្នេះ​ស្វ៊ីត \left( {x_n}\right) ជា​ស្វ៊ីត​ចុះ។

ដោយ​ដឹង​ថា​បើ​តួ​មួយ ធំ​ជាង​-2 នោះ​តួ​បន្ទាប់​ក៏​ធំ​ជាង -2​ដែរ តែ​ស្វ៊ីត​នេះ​ចុះ​ដាច់​ខាត ដូច្នេះ មាន n ធំ​គ្រប់​គ្រាន់​មួយ ដែល x_n \rightarrow -2។ ដូច្នេះ x_{n}\geq -2

8- \left| {IA} \right| + \left| {IB} \right| មាន​រង្វាស់​ខ្លី​បំផុត ដូច​គ្នា​ពេល គេ​ដាក់​ប្លង់​កែង​គ្នា​ទាំង​ពីរ គឺ​ប្លង់​\left( {BKI} \right) និង \left( {AHI} \right) អោយ​នៅ​ក្នុង​ប្លង់​តែ​មួយ។ ដូច្នេះ​ខ្លី​បំផុត​ពេល B,I,A រត់​ត្រង់​គ្នា។ វា​រត់​ត្រង់​គ្នា បើ

          \frac{{BK}}{{AH}} = \frac{{KI}}{{HI}}       

           \Rightarrow \frac{3}{1,5}=\frac{9-IH}{IH}

          \Rightarrow        IH = 3m; IK = 6m

          IA+IB=\sqrt {1,5^2+ 3^2 }+\sqrt {6^2+3^2 }=1,5\sqrt 5+ 3\sqrt 5= 4,5\sqrt 5 m

  
9) ក) យើងមាន \alpha ^{n - 2} \left( {a\alpha ^2 + b\alpha+ c} \right) + \beta ^{n - 2} \left( {a\beta ^2 + b\beta + c} \right) = 0 ព្រោះ \alpha និង \beta ជា​រឺស​នៃ​សមីការ។ ដូច្នេះ a\alpha ^n+b\alpha^{n-1}+c\alpha^{n - 2}+a\beta^n+b\beta^{n-1}+c\beta^{n-2}=0 \Rightarrow aS_n+bS_{n-1}+cS_{n-2}=0 ពិត។

ខ) យក \alpha=\frac{1-\sqrt {13}}{2};\beta=\frac{1+\sqrt {13}}{2} ដូច្នេះ \alpha+\beta= 1;\alpha \beta=-3។ តាម​ទ្រឹស្តីបទ​វ្យែត \alpha ,\beta ជា​រឺស​នៃ​សមីការ x^2 - x - 3 = 0។ ដូច្នេះ​តាម​សំនួរ​ក) យក a = 1,b = - 1,c = - 3 យើង​ទាញ​បាន S_n - S_{n - 1} - 3S_{n - 2} = 0

យើង​មាន S_0=2;S_1=1 \Rightarrow    S_2=7 \Rightarrow S_3=10 \Rightarrow S_4=31 \Rightarrow S_5=61 \Rightarrow S_6= 154 \Rightarrow S_7=337 \Rightarrow S_8=799 \Rightarrow S_9=1810 \Rightarrow S_{10}=4207។ ដូច្នេះ
\left(\frac{-1+\sqrt {13}}{2} \right)^{10}+\left(\frac{-1-\sqrt {13}}{2}\right)^{10}= 4207

10) យើង​មាន MN=\displaystyle \frac{MB}{\cos{\theta}},MB =1-AM = \displaystyle 1- AD\tan \frac{\theta}{2}។ ដូច្នេះ

MN = \displaystyle \frac{1-\tan \frac{\theta }{2}}{\left(\cos \frac{\theta }{2} -\sin \frac{\theta }{2}\right)\left(\cos\frac{\theta }{2} + \sin \frac{\theta}{2}\right)} = \frac{1}{\cos \frac{\theta }{2}\left(\cos \frac{\theta }{2} + \sin \frac{\theta }{2} \right)}

=\displaystyle \frac{2}{1+\cos{\theta}+\sin{\theta}}

ដោយ​សិក្សា​អថេរភាព​របស់ MN ជា​អនុគមន៍​នៃ​មុំ \theta យើង​ទាញ​បាន MN ខ្លី​បំផុត​ស្មើ 2\left(\sqrt{2}-1\right) នៅ​ពេល \theta=\frac{\pi }{4}

11) ដែន​កំនត់ -1\leq x \leqslant 1

ចំពោះ x=1 សមីការ​មិន​ផ្ទៀងផ្ទាត់។ ចំពោះ x \ne 1 យើង​ចែក​អង្គ​ទាំង​ពីរ​នៃ​សមីការ​នឹង \left(1 - x\right)^{\frac{1}{3}} ហើយ តាង u =\displaystyle \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{6}} \geq 0 យើង​ទាញ​បាន u^2-1 = u \Leftrightarrow u^2-u -1=0 ដូច្នេះ u = \displaystyle \frac{1+\sqrt 5}{2}។ ដូច្នេះ \displaystyle \frac{1+x}{1- x} = \left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)^3=9+4\sqrt{5} \Rightarrow x= \displaystyle \frac{4 + 2\sqrt 5 }{5 + 2\sqrt 5} = \frac{2\sqrt 5}{5}

12) ករណី x \geqslant 0 យើង​មាន x^2<x^2+x+6<x^2+6x+9=\left(x+3\right)^2

\Rightarrow x^2+x+6=\left(x + 1\right)^2 រឺ  x^2+x+6 =\left(x+2\right)^2

\Rightarrow x = 5

ដូច្នេះ x = 5 ហើយ f\left( 5 \right) = 36 = 6^2

ខ្សែ​កោង​នៃ​អនុគមន៍ f\left( x \right) បង្ហាញ​ថា វា​ឆ្លុះ​ធៀប​នឹង​អ័ក្ស x =-\frac{1}{2}។ ចំពោះ តំលៃ x_1 ដែល​ f\left(x\right) ជា​ចំនួន​ការេ​ គេ​មាន​ x_2 ដែល \frac{x_1+ x_2}{2} =-\frac{1}{2} \Rightarrow x_2=-1- x_1 អាប់​ស៊ីស​ដែល  f\left( x \right) ជា​ចំនួន​ការេ​ដែរ។ ដូច្នេះ x_2=-1-5=- 6

ដូច្នេះ f\left( x \right) ជា​ចំនួន​ការេ ហើយ​ស្មើ​នឹង 36 ករណី x = \left\{- 6;5\right\}
13) ចំងាយ​ខ្លី​បំផុត (ត្រូវ​នឹង​ចំនាយ​តិច​បំផុត​) គឺ​តាម​ផ្លូវ A -> M -> B។ សន្មត​ថា MB = x ដូច្នេះ AM =\sqrt {AH^2+\left(HB - x\right)^2}=\sqrt {3600 + \left(80 - x\right)^2}

បរិមាណ​ប្រេង​ដែល​ត្រូវ​ចំនាយស្មើ​នឹង

          Q = 0,2\sqrt{3600+\left(80-x\right)^2 }+0,1x

យើង​ត្រូវ​កំនត់ x ដើម្បី​អោយ Q តូច​បំផុត។ យើង​មាន Q'\left( x \right) = 0,1-0,1\frac{2\left(80 - x\right)}{\sqrt {3600 + \left({80 - x} \right)^2 }}

Q'\left( x \right) = 0; x = 80-20\sqrt{3}Q\left( x \right) តូច​បំផុត​ត្រង់ x= 80-20\sqrt{3}

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

7 Responses to សិស្សពូកែទូទាំងប្រទេសកម្ពុជា ឆ្នាំ១៩៩៨

  1. ខ្ញុំធ្លាប់បានចូលរួមប្រឡងសិស្សពូកែផ្នែកគណិតវិទ្យាដែរ​តែគួរឲ្យស្តាយ​បានត្រឹមតែជាប់ក្នុងសាលាមិនអាចជាប់ទូទៅ​រាជធានី។

  2. វិចិត្រ ថា:

    ធម្មតា​ទេ ភ្នំ​មួយ​ខ្ពស់ គង់​មាន​ភ្នំ​មួយ​ខ្ពស់​ជាង​ទៀត។

  3. សុំទោស វិចិត្រ!​តើខ្ញុំត្រូវហៅវិចិត្រថាបងប្រុសឬយ៉ាងម៉េចទៅ?​គឺខ្ញុំមានបញ្ហាមួយ ឯកសារ​សៀវភៅគណិតវិទ្យាដែលវិចិត្របានដាក់ចែករំលែកនោះ ខ្ញុំទាញយកមិនបានសម្រេចសោះ តើវិចិត្រអាចផ្ញើវាមកឲ្យខ្ញុំតាមរយៈសារអេឡិចត្រូនិចបានទេ?
    ខ្ញុំសូមអរគុណទុកជាមុនណា!!!

  4. វិចិត្រ ថា:

    Ok, យប់​នេះ​ ខ្ញុំ​នឹង​ផ្ញើទៅ។

  5. pisethforever ថា:

    សូមអរគុណច្រើន ច្រើន ខ្ញុំក៏មានលំហាត់គណិតនៅសាលាខ្ញុំខ្លះៗដែរ ចាំខ្ញុំផ្ញើត្រឡប់ទៅវិញ។

  6. nokorsoft ថា:

    អូយ!​ងងឹតមុខ ហើយវិចិត្រឯង អីក៏ពូកែរកម៉េស។
    អាវិញ្ញាសារឆ្នាំ1998 ហ្នឹងហើយ ចាំអត់ភ្លេចទេ អាងៃទីមួយស្រួលគ្រាន់បើ ធ្វើបានត្រូវច្រើន។​ អាងៃទីពីរ អាងងឹតមុខឈឹងម៉ង។
    អាឡូវ អោយតាឃើញ គណិតវិទ្យា អាងងឹតមុខឈឹងម៉ង។

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s