អូឡាំព្យ៉ាដគណិតវិទ្យាអាស៊ាន ២០០១


.

អូឡាំព្យ៉ាដ​គណិតវិទ្យា​អាស៊ាន ២០០១

ប៉េណាង, ម៉ាលេស៊ី,​ មិថុនា ២០០១

 

លំហាត់ទី១

ចូរ​បង្ហាញ​ថា បើ n ជា​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន នោះ (n^5-n) ជា​ពហុគុណ​នៃ​ 30

លំហាត់ទី២

ABCD ជា​ការេ​មាន​រង្វាស់​ជ្រុង​មួយ​ឯកតា។ តាង​ M ជា​ចំនុច​មួយ​ស្ថិត​នៅ​លើ​ AD និង N ស្ថិត​នៅ​លើ CD ដែល \angle MBN=45^\circ។ ចូរ​បង្ហាញ​ថា \sqrt{2}-1 \leq S_{MBN} \leq \frac{1}{2} ដែល​ S_{MBN} ជា​ក្រឡាផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​MBN

លំហាត់ទី៣

តាង​ a ជា​ចំនួន​គត់​មាន​រាង \underbrace{11\dotsi 11}_mដែល​ក្នុង​នោះ​មាន​លេខ​១​ចំនួន ​m ដង និង b ជា​ចំនួន​គត់​មាន​រាង​ 1\underbrace{00\dotsi 00}_{m-1}5 ដែល​ក្នុង​នោះ​លេខ​សូន្យ​មាន​ (m-1) ដង។​ចូរ​បង្ហាញ​ថា 9(ab+1) ជា​ការេ​នៃ​ចំនួន​គត់។

លំហាត់ទី៤

តាង f ជា​អនុគមន៍​មួយ ដែល​មាន​លក្ខណៈ

ក) f(n) កំណត់​ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួនវិជ្ជមាន​ n

ខ) f(n) ជា​ចំនួន​គត់

គ) f(mn)=f(m)f(n) ចំពោះ​គ្រប់​​ m និង n

ឃ) f(m)> f(n) ចំពោះ​គ្រប់​ m>n>0

ង) f(2)=2

ចូរ​គណនា​ f(2001)

លំហាត់ទី៥

ក) តាង a_n ជា​ចំនួន​គត់​ធំ​បំផុត​ដែល​មាន​រាង 3^t ដែល​ចែក​ដាច់​ \displaystyle \frac{(3^2)!}{n!(3^2-n)!} 0 \leq n \leq 3^2។ ចូរ​បង្ហាញ​ថា \displaystyle \sum_{n=0}^{3^2}\frac{1}{a_n}=\frac{10}{3}

ខ) តាង b_n ជា​ចំនួន​គត់​ធំ​បំផុត​ដែល​មាន​រាង 3^tដែល​ចែក​ដាច់​ \displaystyle\frac{(3^k)!}{n!(3^k-n)!}។ ចូរគណនា \displaystyle\sum_{n=0}^{3^k}\frac{1}{b_n}

(n និង​ k ជា​ចំនួន​គត់)

ចម្លើយ​លំហាត់​ទី​១

យើង​មាន

N=n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)

ក្នុង​ចំណោម n-1,n ត្រូវ​មាន​យ៉ាង​តិច​មួយ ដែល​ចែក​ដាច់​នឹង 2 ព្រោះ​បើ n សេស នោះ n-1 គូ ហើយ​ចែក​ដាច់​នឹង​២។ តែ​បើ n គូ នោះ​ចែក​ដាច់​នឹង​២។ ដូច្នេះ N ចែក​ដាច់​នឹង ២។

​ក្នុង​ចំណោម n-1,n,n+1 ត្រូវ​មាន​យ៉ាង​តិច​មួយ ដែល​ចែក​ដាច់​នឹង 3 ព្រោះ បើ n=3k នោះn ចែក​ដាច់​នឹង​៣។ បើ​ បើ n=3k+1 នោះn-1 ចែក​ដាច់​នឹង​៣។ បើ n=3k+2 នោះn+1 ចែក​ដាច់​នឹង​៣។ ដូច្នេះ N ចែក​ដាច់​នឹង ៣។

បើ n=5k នោះ N ចែក​ដាច់​នឹង ៥។

បើ n=5k+1 នោះ N ចែក​ដាច់​នឹង ៥។

បើ n=5k+2 នោះ n^2+1=25k^2+20k+4+1 ចែក​ដាច់​នឹង ៥។ នោះ N ចែក​ដាច់​នឹង ៥។

បើ n=5k+3 នោះ n^2+1=25k^2+30k+9+1 ចែក​ដាច់​នឹង ៥។ នោះ N ចែក​ដាច់​នឹង ៥។

បើ n=5k+4 នោះ n+1=5k+5 ចែក​ដាច់​នឹង ៥។ នោះ N ចែក​ដាច់​នឹង ៥។

ដូច្នេះ​ចំពោះ​គ្រប់ n យើង​មាន N ចែក​ដាច់​នឹង ៥។

យើង​មាន N ចែក​ដាច់​នឹង 2,3,5។ ដោយ 2,3,5 បឋម​រវាង​គ្នា​ពីរៗ នោះN ចែក​ដាច់​នឹង 2.3.5=30

ចម្លើយ​លំហាត់​ទី​៣

យើង​មាន

a=\underbrace{11\dotsi 11}_{m}=10^{m-1}+10^{m-2}+\dotsi+1

a=\displaystyle \frac{10^m-1}{9}

b=1\underbrace{00\dotsi 00}_{m-1}5=10^m+5

ដូច្នេះ

9(ab+1)=\left(10^m-1\right) \left(10^m+5\right)+9

=10^{2m}+4.10^m+4=\left(10^m+2\right)^2 ជា​ចំនួន​ការេ។

 

ចម្លើយ​លំហាត់​ទី​៤

យើង​មាន

f(2)=2

f(4)=f(2)f(2)=4

2=f(2)<f(3)<f(4)=4 ដោយ f(3) ជា​ចំនួន​គត់ នោះ f(3)=3

សន្មត​ថា f(n)=n ចំពោះ​គ្រប់ n \leq k។ ដូច្នេះ f(k)=k។ យើង​នឹង​បង្ហាញ​ថា f(k+1)=k+1

ករណី k=2p+1

f(k+1)=f(2p+2)=2f(p+1)

ដោយ​ p+1 <k នោះ f(p+1)=p+1។ យើង​ទាញ​បាន

f(k+1)=2(p+1)=k+1

ករណី k=2p

k<f(k+1)=f(2p+1)<f(2p+2)=2f(p+1)=2p+2=k+2

k<f(k+1)<k+2

ដូច្នេះ f(k+1)=k+1

ដូច្នេះ​ការសន្មត​ពិត។ មានន័យ​ថា f(n)=n ចំពោះ​គ្រប់​ n

យើងទាញ​បាន f(2001)=2001

ចម្លើយ​លំហាត់​ទី​៥

តាង C=\displaystyle \frac{\left( 3^k \right)!}{n! \left( 3^k-n \right)!}

យើង​មាន       C=\displaystyle \binom{3^k}{n} ដូច្នេះ C ជា​ចំនួន​គត់។ សម្រួល​កន្សោម C យើង​ទាញ​បាន

C=\displaystyle \frac{\left(3^k-1\right) \left(3^k-2\right)\dotsi\left(3^k-(n-1)\right)}{1.2\dotsi (n-1)}\frac{3^k}{n}

C=\displaystyle \prod_{j=1}^{n-1}\frac{3^k-j}{j}\frac{3^k}{n}

នៅ​ក្នុងតួ​និមួយៗ​នៃ​​ផលគុណ​ខាង​លើ បើ j=p3^q ដែល p មិន​មែន​ជា​ពហុគុណ​នៃ​៣ នោះ \displaystyle 3^k-j=3^k-p3^q=\left(3^{k-q}-p\right)3^q=r3^q ដែល r មិន​មែន​ជា​ពហុគុណ​នៃ​៣។ ដូច្នេះ \displaystyle \frac{3^k-j}{j}=r/p មិន​មែន​ជា​ចំនួន​ដែល​មាន​រាង s3^ts/3^t​ ទេ។ ដូច្នេះ P=\displaystyle \prod_{j=1}^{n-1}\frac{3^k-j}{j} គ្មាន​រាង u3^vu/3^v ទេ។

ករណី n=0

យើង​មាន C=1 ដូច្នេះ b_0=1

ករណី n=\alpha 3^{\beta} ដែល \alpha ចែក​មិន​ដាច់​នឹង​៣

នោះ C=\displaystyle \frac{P}{\alpha}3^{k-\beta}C ជា​ចំនួន​គត់ ដូច្នេះ \displaystyle \frac{P}{\alpha} ជា​ចំនួន​គត់ ហើយ​គ្មាន​រាង u3^vu/3^v ទេ ព្រោះ \alpha ចែក​មិន​ដាច់​នឹង​៣ ។

ដូច្នេះ​ចំនួន​គត់​ធំ​បំផុត មាន​រាង 3^t ​ដែល​ចែក​ដាច់ C ស្មើនឹង b_n=3^{k-\beta}

ករណី n=\alpha 3^{\beta}+\gamma ដែល \alpha, \gamma ចែក​មិន​ដាច់​នឹង​៣

នោះ C=\displaystyle \frac{P}{\alpha 3^{\beta}+\gamma }3^{k}។ ដូច្នេះ​ចំនួន​គត់​ធំ​បំផុត មាន​រាង 3^t ​ដែល​ចែក​ដាច់ C ស្មើនឹង b_n=3^{k}

ក) ករណី k=2

តាម​សម្រាយ​បញ្ជាក់​ខាង​លើ

-បើ n=\alpha 3^{\beta} នោះ a_n=3^{2-\beta}

-ចំពោះ​តម្លៃ​ n ក្រៅ​ពី​នេះ យើង​មាន  a_n=3^{2}

ក្នុង​ចំណោម​ចំនួន​គត់ 1,2,3,\dotsi,3^2 បណ្តា​ចំនួន​ដែល​មាន​រាង

n=\alpha 3^2 មាន​ចំនួន \displaystyle \left[\frac{3^2}{3^2} \right]=1។ ចំពោះ​តម្លៃ n ទាំងនោះ គេ​មាន a_n=3^{2-2}=1

n=\alpha 3^1 មាន​ចំនួន \displaystyle \left[\frac{3^2}{3^1} \right]- \left[\frac{3^2}{3^2} \right]=2។ ចំពោះ​តម្លៃ n ទាំងនោះ គេ​មាន a_n=3^{2-1}=3

– រាង​ក្រៅ​ពី​នេះ​មាន​ចំនួន 3^2-(1+2)=6 ។ ចំពោះ​តម្លៃ n ទាំងនោះ គេ​មាន a_n=3^{2}=9

ដូច្នេះ   \displaystyle \sum_{n=0}^{3^2}\frac{1}{a_n}=1+6\left(\frac{1}{9} \right)+2\left(\frac{1}{3} \right)+ 1.0\left(\frac{1}{1} \right)=\frac{10}{3}

ខ) ករណី​ទូទៅ

-បើ n=\alpha 3^{\beta} នោះ b_n=3^{k-\beta}

-ចំពោះ​តម្លៃ​ n ក្រៅ​ពី​នេះ យើង​មាន  b_n=3^{k}

ក្នុង​ចំណោម​ចំនួន​គត់ 1,2,3,\dotsi,3^k បណ្តា​ចំនួន​ដែល​មាន​រាង

n=\alpha 3^k មាន​ចំនួន \displaystyle \left[\frac{3^k}{3^k} \right]=3^0។ ចំពោះ​តម្លៃ n ទាំងនោះ គេ​មាន b_n=3^{k-k}=1

n=\alpha 3^{k-1} មាន​ចំនួន \displaystyle \left[\frac{3^k}{3^{k-1}} \right]- \left[\frac{3^k}{3^k} \right]=3^1-3^0។ ចំពោះ​តម្លៃ n ទាំងនោះ គេ​មាន a_n=3^{k-(k-1)}=3

n=\alpha 3^{k-2} មាន​ចំនួន \displaystyle \left[\frac{3^k}{3^{k-2}} \right]- \left[\frac{3^k}{3^{k-1}} \right]=3^2-3^1។ ចំពោះ​តម្លៃ n ទាំងនោះ គេ​មាន a_n=3^{k-(k-2)}=3^2

-……

n=\alpha 3^{1} មាន​ចំនួន \displaystyle \left[\frac{3^k}{3^{1}} \right]- \left[\frac{3^k}{3^{2}} \right]=3^{k-1}-3^{k-2}។ ចំពោះ​តម្លៃ n ទាំងនោះ គេ​មាន a_n=3^{k-1}
– រាង​ក្រៅ​ពី​នេះ​មាន​ចំនួន 3^k-(3^0+(3^1-3^0)+\dotsi +(3^{k-1}-3^{k-2}))=3^k-3^{k-1}=2.3^{k-1} ។ ចំពោះ​តម្លៃ n ទាំងនោះ គេ​មាន a_n=3^{k}

ដូច្នេះ   \displaystyle \sum_{n=0}^{3^k}\frac{1}{b_n}= 1 + 2.3^{k-1} \frac{1}{3^k}+3^0 (1)+\frac{3^1-3^0}{3}+\dotsi+\frac{3^{k-1}-3^{k-2}}{3^{k-1}}

=\displaystyle 1+\frac{2}{3}+1+\underbrace{\frac{2}{3}+\dotsi+\frac{2}{3}}_{k-1}

=2+\frac{2}{3}k

ដូច្នេះ   \displaystyle \sum_{n=0}^{3^k}\frac{1}{b_n}=2+\frac{2}{3}k

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s