THE 1998 ASIAN PACIFIC MATHEMATICAL OLYMPIAD


Time allowed: 4 hours.
No calculators to be used.
Each question is worth 7 points.

1. Let F be the set of all n -tuples (A_1, A_2,..., A_n) where each A_i, i=1,2,..., n is a subset of {1,2,...,1998}. Let |A| denote the number of elements of the set A.
Find the number \displaystyle \sum_{A_1,A_2,...,A_n}|A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n|

2. Show that for any positive integers a and b, (36a + b)(a + 36b) cannot be a power of 2.

3. Let a, b, c be positive real numbers. Prove that
\displaystyle \left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right) \geq 2 \left(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right)

4. Let ABC be a triangle and D the foot of the altitude from A. Let E and F be on a line through D such that AE is perpendicular to BE, AF is perpendicular to CF, and E and F are different from D. Let M and N be the midpoints of the line segments BC and EF, respectively. Prove that AN is perpendicular to NM.

5. Determine the largest of all integers n with the property that n is divisible by all positive integers that are less than \sqrt[3]{n} .

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s