គណិតវិទ្យាអូឡាំពិច​២០០៨


សំនួរ​ទី​៤. ចូរ​កំនត់​គ្រប់​ត្រីធាតុ (a,b,c) នៃ​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន ដែល​ a^2+2^{b+1}=3^c

ដំនោះ​ស្រាយ

យើង​មាន {{3}^{c}}\equiv {{\left( -1 \right)}^{c}}\left ( \bmod 4 \right) និង 2^{b+1} \equiv 0 (\mod 4) ដូច្នេះ 4 \vert a^2 -(-1)^c។ ដោយ a^2 \equiv 0,1 (\mod 4) នោះ a ត្រូវ​តែ​ជា​ចំនួន​សេស ហើយ c ត្រូវ​តែ​ជា​ចំនួន​គូ។ ដូច្នេះ c=2m ។ យើងទាញ​បាន

\left ( 3^m-a \right ) \left ( 3^m +a \right)=2^{b+1}

ត្រូវ​មាន (x,y) \in \mathbb{N} ដែល 3^m-a=2^x, 3^m+a=2^y, x+y=b+1 ។ យើងទាញ​បាន​ x<y និង 2.3^m=2^x+2^y \Leftrightarrow 2.3^m=2^x \left (1+2^{y-x} \right)។ ដូច្នេះ x=1 និង 3^m=1+2^{y-1}​  -សមីការ​ កាតាឡាន់ (Catalan)។

3^m-1=2.\left ( 3^{m-1}+3^{m-2}+...+3+1 \right ) =2^{y-1}

\Rightarrow \left ( 3^{m-1}+3^{m-2}+...+3+1 \right ) =2^{y-2}

ករណី m=1 យើង​ទាញ​បាន y=2; c=2; b=2; a=1

ករណី m \geq 2

\Rightarrow (1)^{m-1}+...+1+1 \equiv 0 (\mod 2) \Leftrightarrow m \equiv 0 (\mod 2)

តាង m=2p ដូច្នេះ \left (3^p-1 \right) \left (3^p+1 \right)=2^{y-1} \Rightarrow 3^p-1, 3^p+1 ត្រូវ​តែ​ជា​ចំនួន​ស្វ័យ​គុណ​នៃ​2 ទាំង​ពីរ។ តាង 3^p+1=2^{\alpha+\beta}, 3^p-1=2^{\beta}។ យើង​មាន 2^{\alpha+\beta}-2^{\beta}=2 \Rightarrow 2^{\beta} \left (2^{\alpha} -1 \right ) = 2 ដូច្នេះ \beta =1; \alpha =1 \Rightarrow p=1; m=2; y=4; b=4; c=4; a=7

ចំលើយ (a,b,c)=(1;2;2); (7;4;4)

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s