គណិត​វិទ្យា​អូឡាំពិចអន្តរជាតិ ២០០៨


លំហាត់ទី​៤

ចូររក​គ្រប់​អនុគមន៍ f: (0,\infty)\mapsto (0,\infty) ដែល

\displaystyle \frac{\left(f(w)\right)^2+\left(f(x)\right)^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}

ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួន​ពិតវិជ្ជមាន w,x,y,z ដែល​ផ្ទៀងផ្ទាត់​ wx=yz

ចម្លើយ

យក x=y=z=w យើងទាញបាន

f\left(x^2\right)=\left(f(x)\right)^2 និង f(1)=1

យើងយក x=w ដូច្នេះ x^2=yz មានន័យថា

f(x^2)(y^2+z^2)=x^2(f(y^2)+f(z^2))

f(yz)(y^2+z^2)=yz(f(y^2)+f(z^2))

ចំពោះ y=1 យើងមាន f(z)(z^2+1)=z(f(z^2)+1)

ដូច្នេះ f(z)(z^2+1)=z(f(z)^2+1)

\Rightarrow (z-f(z))(zf(z)-1)=0 \Rightarrow f(z)=z; f(z)=1/z

ដូច្នេះ ​យើង​ទាញ​បាន​ថា អនុគមន៍ f(x)=x និង f(x)=1/x ជា​អនុគមន៍​ដែល​ផ្ទៀងផ្ទាត់​សម្នើ​ខាង​លើ។ បន្ទាប់​មក​ទៀត យើង​នឹង​បង្ហាញ​មិន​មាន​អនុគមន៍​ដែល​ជា​បន្សំ​នៃ​អនុគមន៍​ទាំង​ពីរ​ដែល​ ផ្ទៀងផ្ទាត់​សម្នើ​នេះ​ទេ មាន​ន័យថា អនុគមន៍​ដែល

f(x)=x ចំពោះ x \in D_1

និង f(x)=1/x ចំពោះ x \in D_2

មិន​ផ្ទៀងផ្ទាត់​សម្នើ​នេះ​ទេ។

សន្មតថា គេ​មាន a,b \neq 1 ដែល f(a)=a; f(b)=1/b

យើងយក x \to \sqrt{x}, y \to \sqrt{y}, z \to \sqrt{z}, w \to \sqrt{w} យើងទាញ​បាន

(y + z)(f(x) + f(w)) = (x + w)(f(z) + f(y))

យក w=1; x=yz; y=a; z=b យើងទាញ​បាន
(a+b)(f(ab)+1)=(ab+1)(f(a)+f(b))

\Leftrightarrow (a+b)(f(ab)+1)=(ab+1)(a+1/b)

បើ f(ab)=ab នោះ

\Leftrightarrow (a+b)(ab+1)=(ab+1)(a+1/b)

\Rightarrow b=1 ខុសលក្ខខណ្ឌ។

បើ f(ab)=1/ab នោះ

\Leftrightarrow (a+b)(1/ab+1)=(ab+1)(a+1/b)

\Rightarrow (a+b)(1+ab)/ab=(ab+1)(ab+1)/b

\Rightarrow (a+b)=a(ab+1)

\Rightarrow a=1 ខុសលក្ខខណ្ឌ។

ដូច្នេះ​សម្នើ​ពិត។

មានន័យថា​មាន​តែ​អនុគមន៍ f(x) \equiv x និង f(x) \equiv 1/x តែ​ប៉ុន​នេះ​​គត់​​ដែល​ផ្ទៀងផ្ទាត់​លក្ខខណ្ឌ។

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s