សិស្សពូកែរាជធានី ២០០៨


សំនួរ៩) (១០ពិន្ទុ)គេ​អោយ​ចំនួន​ពិត​វិជ្ជមាន​បី a;b;c ដែល​មាន​ផលគុណ​ស្មើ 1។ រក​តំលៃ​ធំ​បំផុត​នៃផលគុណ P = \displaystyle \left( {a - 1 + \frac{1}{b}} \right)\left( {b - 1 + \frac{1}{c}} \right)\left( {c - 1 + \frac{1}{a}} \right)

ដំនោះស្រាយ

ជា​ដំបូង​យើង​សន្មតថា កត្តា​និមួយៗ​នៃ​ P ​មាន​តំលៃ​វិជ្ជមាន​រឺ​សូន្យ។

យើង​មាន b-1+\frac{1}{c}= b\left({1-\frac{1}{b}+\frac{1}{{bc}}} \right)= b\left({1+a-\frac{1}{b}} \right)

\Rightarrow \left({a-1+\frac{1}{b}}\right)\left({b-1+\frac{1}{c}}\right)=b\left({a^2- \left({a-\frac{1}{b}} \right)^2} \right) \leqslant ba^2 ស្មើ​គ្នា​បើ ab = 1

ដូចគ្នា យើងទាញ​បាន

\left( {b -1 + \frac{1}{c}} \right)\left( {c -1 + \frac{1}{a}} \right) \leqslant cb^2   ស្មើ​គ្នា​បើ bc = 1

\left({a-1 + \frac{1}{b}} \right)\left({c-1+\frac{1}{a}} \right) \leqslant ac^2   ស្មើ​គ្នា​បើ ac = 1

\Rightarrow \left[ \left(a-1+\frac{1}{b} \right) \left(b-1+\frac{1}{c}\right) \left(c-1+\frac{1}{a}\right) \right]^2 \leq \left( abc\right)^2=1

អង្គ​ទាំង​ពីរ​ស្មើ​គ្នា បើ a = b = c = 1

ករណីមាន​កត្តា​ណាមួយ​អវិជ្ជមាន ឧទាហរណ៍ a-1+\frac{1}{b} < 0 នោះ a < 1 ហើយ b > 1។ ក្នុង​ករណី​នេះ b-1+\frac{1}{c} > 0 និង c-1+\frac{1}{a} > 0 ។ ដូច្នេះ​បើមាន​កត្តា​ណាមួយ​អវិជ្ជមាន នោះ មាន​តែកត្តា​មួយ​នោះ​ប៉ុណ្ណោះ ដែល អវិជ្ជមាន ដូច្នេះ​ ផលគុណ​នៃ​កត្តាទាំងបី​នេះ​អវិជ្ជមាន ដូច្នេះ​តូច​ជាង១។

ដូច្នេះ តំលៃ​ធំ​បំផុត​របស់ P ស្មើ​ 1 ពេល a=b=c=1

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s