សិស្សពូកែរាជធានី ២០០៨


សំនួរ១២) (១៥ពិន្ទុ) រក​គ្រប់​អនុគមន៍ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ផ្ទៀងផ្ទាត់​លក្ខខណ្ឌ

f\left[ {x\left( {1 + f\left( y \right)} \right) + f\left( y \right)} \right] = x\left( {1 + y} \right) + y ចំពោះ​គ្រប់ x,y \in \mathbb{R}

ដំនោះស្រាយ

យក x = 0 យើង​ទាញ​បាន f\left( {f\left( y \right)} \right) = y ចំពោះ \forall y \in \mathbb{R}។ យក y = 0 ហើយ​តាង u = x\left( {1 + f\left( 0 \right)} \right) + f\left( 0 \right) ដូច្នេះ x = \frac{u - f\left( 0 \right)}{1 + f\left( 0 \right)}។ ដូច្នេះ យើង​ទាញ​បាន

f\left( u \right) = \frac{{u - f\left( 0 \right)}}{{1 + f\left( 0 \right)}}

\Rightarrow f\left( {f\left( u \right)} \right) = \frac{{f\left( u \right) - f\left( 0 \right)}}{{1 + f\left( 0 \right)}} = \frac{{u -2f\left( 0 \right)-f^2 \left( 0 \right)}}{{\left( {1 + f\left( 0 \right)} \right)^2 }} = u

យក u = 0 យើង​ទាញ​បាន f\left( 0 \right) = 0 រឺ f\left( 0 \right) =-2។ ដូច្នេះ f\left( x \right) = x រឺ f\left( x \right) =-x-2

បន្ទាប់​មក​ទៀត​យើង​នឹង​បង្ហាញ​ថា គ្មាន​អនុគមន៍ f\left( x \right) ដែល​ជា​បន្សំ​នៃ​អនុគមន៍​ទាំង​ពីរ ដែល​ជា​ចំលើយ​របស់​សមីការ​ទេ មានន័យថា មាន​ D_1 ដែល x \in D_1 យើង​មាន f\left( x \right) = x និង D_2 ដែល x \in D_2 យើង​មាន f\left( x \right) =-x-2 ជា​សំនើ​មិន​ពិត។ ឧបមា​ផ្ទុយ​មក​វិញ​ថា​ពិត។ ជា​ដំបូង​សន្មត​ថា y \in D_1 ដូច្នេះ f\left( y \right) = y \Rightarrow \left(1 + f\left( y \right) \right) + f\left( y \right) = x\left( {1 + y} \right) + y។ យើង​អាច​រក​បាន x=x_0 \in \mathbb{R} ដែល x_0 \left( {1 + y} \right) + y \in D_2 ដូច្នេះ ករណី

f\left[ {x_0 \left( {1 + f\left( y \right)} \right) + f\left( y \right)} \right] =-x_0 \left( {1 + y} \right) -y-2 = x_0 \left( {1 + y} \right) + y

\Leftrightarrow x_0 \left(1 + y \right) + y = 1 ។ មានន័យ​ថា D_2=\left\{1\right\} ដូច្នេះ D_1=\mathbb{R}-\left\{1\right\}។ យើង​មាន y \in D_1 ដូច្នេះ យក y=-1 យើង​ទាញ​បាន -1 = 1 មិន​ពិត។

បង្ហាញ​ដូច​គ្នា​ករណី y \in D_2 ។ ដូច្នេះ​សមីការ​មាន​ចំលើយ

f\left( x \right) \equiv x                 ចំពោះ \forall x \in \mathbb{R}

រឺ         f(x) \equiv {-x-2}          ចំពោះ \forall x \in \mathbb{R}

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s