វិញ្ញាសាសិស្សពូកែគណិតវិទ្យាបារាំង ២០០៧


សំនួរ​ទី​២. តាង a, b, c, d ជា​ចំនួន​ពិត ដែល a+b+c+d=1 ។ ចូរ​បង្ហាញ​ថា

6(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+\frac{1}{8}

ដំនោះស្រាយ

តាម​សម្មតិកម្ម​ដែល​អោយ យើង​អាច​រៀប​ចំនួន​ពិត a,b,c,d តាម​លំដាប់ a \leq b \leq c \leq d បាន។ តាម​វិសមភាព​ Chebyshev យើង​ទាញ​បាន

\displaystyle \frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{4} \geq \frac{a+b+c+d}{4}\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}

\Rightarrow \displaystyle 4(a^3+b^3+c^3+d^3) \geq a^2+b^2+c^2+d^2                   (*)

\Rightarrow \displaystyle 2(a^3+b^3+c^3+d^3) \geq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}       (**)

ហើយ​តាម​វិសមភាព Chebyshev ម្តង​ទៀត យើង​ទាញ​បាន

\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4} \geq \frac{a+b+c+d}{4}\frac{a+b+c+d}{4}=\frac{1}{16}

\Rightarrow \displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2} \geq \frac{1}{8}

(**)\Rightarrow \displaystyle 2(a^3+b^3+c^3+d^3) \geq \frac{1}{8}                           (***)

បូក​(*) និង​ (***) នាំ​អោយ

6(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})\geq \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+\frac{1}{8}

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
អត្ថបទនេះត្រូវបាន​ផ្សាយក្នុង គណិតវិទ្យា​។ ប៊ុកម៉ាក តំណភ្ជាប់​អចិន្ត្រៃ​យ៍​

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s