លំហាត់​១៥​



មាតិកា \ គណិតវិទ្យា\…

បើ a,b ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ដែល \frac{{a^2 + b^2 }}{{1 + ab}} ជាចំនួនគត់ នោះ \frac{{a^2 + b^2 }}{{1 + ab}} ជាការេនៃចំនួនគត់មួយ។

(អូឡាំព្យ៉ាដគណិតវិទ្យាអន្តរជាតិ ១៩៨៨)

ចំលើយ
សន្មតថា \frac{{a^2 + b^2 }}{{1 + ab}} = k ដែល k ជាចំនួនគត់។ យើងត្រូវបង្ហាញថា k ជាចំនួនការេ។ យើងសន្មតថា មានគូ\left( {a,b} \right) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ k ជាចំនួនគត់ ជ្រើសរើសយកa,b ជាគូដែលតូចជាងគេ។
យើងអាចសន្មតថា a \leqslant b ព្រោះ កន្សោមខាងលើ មានលក្ខណៈ ស៊ីមេទ្រី ធៀបនឹង a,b
បើ a=b នោះ 0 < k = \frac{{2a^2 }}{{1 + a^2 }} < 2
\Rightarrow បើ k ជាចំនួនគត់ នោះ k = 1 = 1^2 ជាចំនួនការេ។
បើ a < b នោះ
a^2 + b^2 - k\left( {ab + 1} \right) = 0
b^2 - ka.b + a^2 - k = 0

ជាសមីការដឺក្រេទី២ ធៀបនឹង b ដែលមានផលបូករឺសស្មើ ka និង ផលគុណរឺសស្មើ a^2-k (តាមទ្រឹស្តីបទវ្យែត)។
តាង b_1 ,b_2 = b ជារឺសរបស់វា ដូច្នេះ b_1 + b = ka និង b_1 b = a^2 - k ។ ដោយ b,ka ជាចំនួនគត់ នោះ b_1ក៏ជាចំនួនគត់ដែរ។ យើងមាន a,k ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ហើយនិង b > a \geqslant 0 b_1 មិនអាចធំជាងសូន្យបានទេ ព្រោះ បើមិនអញ្ចឹងទេ
b_1 = \frac{{a^2 - k}}{b} < \frac{{b^2 - k}}{b} < b មានន័យថា មាន b_1 ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន(តូចជាងរឺធំជាង a ក៏បាន) ដែល b_1 < b \Rightarrow b មិនមែនជាចំនួនគត់ដែលតូចជាងគេទេ ដែលផ្ទុយពីសន្មតិ។ ដូច្នេះ b_1 \leqslant 0 ។ តែ
a^2 + b_1 ^2 = k\left( {ab_1 + 1} \right) \geqslant 0
ab_1 + 1 \geqslant 0
b_1 \geqslant - \frac{1}{a}

ដូច្នេះ b_1 \leqslant 0 និង b_1 \geqslant - \frac{1}{a} ដែល a > 0 ជាចំនួនគត់។ ដូច្នេះ b_1=0។ នាំអោយ k=a^2 ជាចំនួនការេ។


មាតិកា \ គណិតវិទ្យា\…

Advertisements

About វិចិត្រ

ជា​ខ្មែរ​ម្នាក់ ជា​មនុស្ស​ម្នាក់ ធម្មតា​ដូច​មនុស្ស​ឯ​ទៀត​ដែរ
This entry was posted in គណិតវិទ្យា​ and tagged . Bookmark the permalink.

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s