ទំព័រដើម > គណិតវិទ្យា​ > គណិតវិទ្យាអូឡាំពិចអន្តរជាតិ១៩៦០

គណិតវិទ្យាអូឡាំពិចអន្តរជាតិ១៩៦០

ខែ សីហា 2, 2008 វិចិត្រ បញ្ចេញ មួយវិចារ ទៅ វិចារ


អូឡាំព្យ៉ាដគណិតវិទ្យាអន្តរជាតិ

.

អូឡាំព្យ៉ាដគណិតវិទ្យាអន្តរជាតិ លើកទី២

ស៊ីណាអ៊ីយ៉ា, រ៉ូម៉ានី កក្កដា ១៩៦០

ថ្ងៃ​ទី​១

លំហាត់ទី១

ចូរ​គណនា​គ្រប់​ចំនួន​មាន​លេខ​៣​ខ្ទង់ N ដែល​ Nចែក​ដាច់​នឹង​11 ហើយ \displaystyle \frac{N}{11}​ស្មើ​នឹង​ផលបូក​នៃ​ការេ​របស់​តួ​លេខ​ក្នុង​ខ្ទង់​និមួយៗ​នៃ​N។

លំហាត់ទី២

ចូរ​កំណត់​គ្រប់​អថេរ​ x ដែល​ផ្ទៀងផ្ទាត់​វិសមីការ​ខាង​ក្រោម​នេះ

\displaystyle \frac{4x^2}{\left(1-\sqrt{2x+1}\right)^2} <2x+9

លំហាត់ទី៣

គេ​ឲ្យ​ត្រីកោណ​កែង​ ABC ដែល​​អ៊ីប៉ូតេនុស BC មាន​រង្វាស់​ a ហើយ​ត្រូវ​ចែក​ជាn ​អង្កត់​ស្មើ​គ្នា ដែល n ជា​ចំនួន​គត់​សេស។ តាង​ \alpha ជា​មុំ​ស្រួច​​ត្រង់​កំពូល​A ស្កាត់​អង្កត់ដែល​ផ្ទុក​ចំនុច​កណ្តាល​របស់​អ៊ីប៉ូ​តេនុស។ តាង​ h ជា​រង្វាស់​កម្ពស់​ត្រូវ​នឹង​អ៊ីប៉ូតេនុស​របស់​ត្រីកោណ។ ចូរ​បង្ហាញ​ថា

\tan \alpha = \displaystyle \frac{4nh}{\left (n^2-1\right)a}

ថ្ងៃទី​២

លំហាត់​ទី​៤

ចូរ​សង់​ត្រីកោណ ABCដោយ​ស្គាល់​រង្វាស់​ h_a,h_b កម្ពស់​គូស​ចេញ​ពី​កំពូល​ Aនិង​ B រៀង​គ្នា និង m_aជា​មេដ្យាន​គូស​ចេញ​ពី​កំពូល​A។

លំហាត់​ទី​៥

គេ​ឲ្យ​គូប​ABCDA'B'C'D' មាន​មុខABCD​នៅ​ចំពីលើ​មុខ​A'B'C'D'។

ក) ចូរ​កំណត់​សំណុំ​ចំនុច​កណ្តាល​នៃ​អង្កត់​ XYដែលX​ជា​ចំនុច​មួយ​រត់​លើ​AC និង​ Y ជា​ចំនុច​មួយ​រត់​លើ​B'D'។

ខ) ចូរ​កំណត់​សំណុំ​ចំនុចZ ដែល​ស្ថិត​នៅ​លើ​អង្កត់​ XY ក្នុង​សំណួរ​ក) ដែល ZY=2XZ​។

លំហាត់​ទី​៦

គេ​ឲ្យ​កោន​​មួយ​មាន​ស្វ៊ែរ​ចារឹក​ក្នុង​មួយ​ដែល​ប៉ះ​នឹង​បាត​កោន។ ស៊ីឡាំង​មួយ​ចារឹក​ក្រៅ​ស្វ៊ែរ​នេះ​ ដែល​មាន​បាត​មួយ​របស់​វា​ស្ថិត​នៅ​លើ​បាត​របស់​កោន។ តាង​ V_1 ជា​មាឌ​របស់​កោន និង V_2 ជា​មាឌ​របស់​ស៊ីឡាំង។

ក)​ចូរ​បង្ហាញ​ថា V_1 \neq V_2

ខ) ចូរ​គណនា​តម្លៃ​តូច​បំផុត​នៃ​ k ដែល V_1=kV_2 ។ ក្នុង​ករណី​នេះ ចូរ​សង់​មុំ​នៅ​ត្រង់​កំពូល​កោន​ ស្កាត់​អង្កត់​ផ្ចិត​បាត​កោន។

លំហាត់​ទី​៧

ចតុកោណ​ព្នាយ​សមបាត​មួយ​មាន​បាត​ a និងc  និង​កម្ពស់​ h ។

ក) នៅ​លើ​អ័ក្ស​ស៊ីមេទ្រី​របស់​ចតុកោណ​ព្នាយ​នេះ ចូរ​កំណត់​គ្រប់​បណ្តា​ចំណុច​P  ដែល​មុំ​ត្រង់​ P ស្កាត់​ជើង​ទាំង​ពីរ​នៃ​ចតុកោណ​ព្នាយ​ ជា​មុំ​កែង។

ខ) គណនា​ចម្ងាយ​រវាង​ចំណុច​P និង​​បាត​ទាំង​ពីរ។

គ) ចូរ​កំណត់​លក្ខខណ្ឌ​អត្ថិភាព​នៃ​​ចំណុចP ។ ចូរ​ពិភាក្សា​គ្រប់​ករណី​ទាំងអស់​ដែល​អាច​មាន។

ចម្លើយ​លំហាត់ទី១

សម្មតិកម្មទី១៖Nចែក​ដាច់​នឹង​11។

សម្មតិកម្មទី២៖\frac{N}{11}​ស្មើ​នឹង​ផលបូក​នៃ​ការេ​របស់​តួ​លេខ​ក្នុង​ខ្ទង់​និមួយៗ​នៃ​N។

តាង N=\overline{abc} ដែល 1 \leq a \leq 9 និង 0 \leq b,c \leq 9  ។ ដោយ Nចែក​ដាច់​នឹង​ ១១ នោះ​ផល​សង​រវាង​ផល​បូក​នៃ​តួ​លេខ​ជួរ​សេស និង ផល​បូក​នៃ​តួ​លេខ​ជួរគូ រាប់​ពី​ខាង​ឆ្វេង ចែក​ដាច់​នឹង​១១។ មានន័យ​ថា

c+a-b \equiv 0 (\mod{11})

យើង​មាន  1 \leq c+a-b \leq 18។ ដូច្នេះ c+a-b=0 ឬ c+a-b =11។

សម្មតិកម្មទី២ យើង​ទាញ​បាន a^2+b^2+c^2=\frac{1}{11}\left[ 100a+10b+c\right] (*)។

ក) ករណី c+a-b=0

យើង​ទាញ​បាន c=b-a \geq 0 \Longrightarrow b \geq a។ ដូច្នេះ (*) នាំ​ឲ្យ

a^2+b^2+(b-a)^2=9a+b

2a^2-(2b+9)a+2b^2-b=0

\Delta =(2b+9)^2-4(2)(2b^2-b)

\Delta =-12b^2+44b+81

a_{1,2}=\frac{2b+9 \pm \sqrt{\Delta}}{4}

b \Delta a_1 a_2
0 81 4.5 0
1 113 - -
2 121 6 0.5
3 105 - -
4 65 - -
5 1 5 4.5
6 -87 - -
7 -199 - -
8 -335 - -
9 -495 - -

ក្នុង​ចំណោម​ចម្លើយ​ក្នុង​តារាង​ខាង​លើ មាន​តែ ករណី a=5;b=5 មួយ​ប៉ុណ្ណោះ ដែល​អាច​យក​បាន។ ដូច្នេះ c=b-a=0 \Longrightarrow N=550។

ខ) ករណី c+a-b =11

យើង​ទាញ​បាន c=11+b-a \geq 0។ ដូច្នេះ (*) នាំ​ឲ្យ

a^2+b^2+(11+b-a)^2=\frac{1}{11} \left[100a+10b+(11+b-a)\right]

\Longrightarrow 2a^2-(2b+31)a+(2b^2+21b+120)=0

\Delta = (2b+31)^2-8(2b^2+21b+120)

\Delta =-12b^2-44b+1

យើង​ទាញ​បាន b=0;a=8; c=3 ដូច្នេះ N=803។

ដូច្នេះ​ជា​សរុប​ចំណោទ​មាន​ចំលើយ N=550; N=803។

ចម្លើយ​លំហាត់ទី២

តាង x=-\frac{1}{2}+\frac{a^2}{2} ដែល a \geq 0។ វិសមីការ​ដែល​ឲ្យ​សមមូល​នឹង

\displaystyle \frac{4\left(-\frac{1}{2}+\frac{a^2}{2}\right)^2}{\left(1-\sqrt{1+2\left(-\frac{1}{2}+\frac{a^2}{2}\right)}\right)^2}<2\left(-\frac{1}{2}+\frac{a^2}{2}\right)+9
\Longrightarrow (a+1)^2<a^2+8
\Longrightarrow a<\frac{7}{2}
\Longrightarrow -\frac{1}{2} \leq x < \frac{45}{8}
តែ x=0 វិសមភាព​មិន​កំណត់។ ដូច្នេះ ចម្លើយ​គឺ x=\left[-\frac{1}{2},\frac{45}{8}\right)\setminus\{0\}។

ចម្លើយ​លំហាត់ទី៣

យើង​មាន
\displaystyle P\left(\frac{n+1}{2}\frac{b}{n}; \frac{n-1}{2}\frac{c}{n};\right)
\displaystyle Q\left(\frac{n-1}{2}\frac{b}{n}; \frac{n+1}{2}\frac{c}{n};\right)
យើង​មាន
\tan \alpha =\tan \angle PAQ = \tan (\angle BAQ-\angle BAP)
ដូច្នេះ
\tan {\alpha} =\displaystyle \frac{\tan {\angle BAQ}- \tan {\angle BAP}}{1+\tan {\angle BAQ}\tan {\angle BAP}}

យើង​មាន
\tan {\angle BAP}=\displaystyle \frac{n-1}{n+1}\frac{c}{b}
\tan {\angle BAQ}=\displaystyle \frac{n+1}{n-1}\frac{b}{c}

ដូច្នេះ
\tan {\alpha}=\displaystyle \frac{4nbc}{(n^2-1)(b^2+c^2)}
\tan {\alpha}=\displaystyle \frac{4nbc}{(n^2-1)a^2}

យើង​មាន bc=ah ដូច្នេះ \tan \alpha = \displaystyle \frac{4nh}{\left (n^2-1\right)a}។

អូឡាំព្យ៉ាដគណិតវិទ្យាអន្តរជាតិ
ចំណាត់ក្រុម ៖គណិតវិទ្យា​
  1. គ្មានទាន់មាន វិចារ។