ទំព័រដើម > គណិតវិទ្យា​ > លំហាត់លេខ១ – វិសមភាព អូឡាំព្យ៉ាដអន្តរជាតិ ២០០០

លំហាត់លេខ១ – វិសមភាព អូឡាំព្យ៉ាដអន្តរជាតិ ២០០០

ខែ វិច្ឆិកា 10, 2007 វិចិត្រ បញ្ចេញ មួយវិចារ ទៅ វិចារ

គេអោយ a,b,c > 0 ដែល abc = 1 ។ ចូរបង្ហាញថា
\left( {a - 1 + {1 \over b}} \right)\left( {b - 1 + {1 \over c}} \right)\left( {c - 1 + {1 \over a}} \right) \le 1

(អូឡាំព្យ៉ាដអន្តរជាតិ ២០០០)

ចំលើយ
ជាដំបូងយើងសន្មតថា កត្តានិមួយៗនៃអង្គខាងស្តាំរបស់វិសមភាពមានតំលៃវិជ្ជមានរឺសូន្យ។
យើងមាន
b - 1 + {1 \over c} = b\left( {1 - {1 \over b} + {1 \over {bc}}} \right) = b\left( {1 + a - {1 \over b}} \right)
\Rightarrow \left( {a - 1 + {1 \over b}} \right)\left( {b - 1 + {1 \over c}} \right) = b\left( {a^2 - \left( {a - {1 \over b}} \right)^2 } \right) \le ba^2
ដូចគ្នា យើងទាញបាន
\left( {b - 1 + {1 \over c}} \right)\left( {c - 1 + {1 \over a}} \right) \le cb^2
\left( {a - 1 + {1 \over b}} \right)\left( {c - 1 + {1 \over a}} \right) \le ac^2

\Rightarrow \left[ {\left( {a - 1 + {1 \over b}} \right)\left( {b - 1 + {1 \over c}} \right)\left( {c - 1 + {1 \over a}} \right)} \right]^2 \le \left( {abc} \right)^2 = 1 ពិត។

ករណីមានកត្តាណាមួយអវិជ្ជមាន ឧទាហរណ៍ a - 1 + {1 \over b} < 0 នោះa < 1 ហើយ b < 1 ។ ក្នុងករណីនេះ b - 1 + {1 \over c} > 0 និង c - 1 + {1 \over a} > 0 ។ ដូច្នេះបើមានកត្តាណាមួយអវិជ្ជមាន នោះ មានតែកត្តាមួយនោះប៉ុណ្ណោះ ដែល អវិជ្ជមាន ដូច្នេះ ផលគុណនៃកត្តាទាំងបីនេះអវិជ្ជមាន ដូច្នេះតូចជាង១។

ចំណាត់ក្រុម ៖គណិតវិទ្យា​ ប្លាក៖
  1. គ្មានទាន់មាន វិចារ។
  1. គ្មានទាន់មាន ការតាមដានត្រលប់។